图像的采样和量化（二维DFT公式详细推导）

最近复习图像和视频处理课，好多基础推导都不能得心应手，复习进度相当缓慢，过程异常痛苦。图像的二维傅里叶变换的公式始终没成功推出来，执着地僵持了很久，于是成此文。

数字图像（M行*N列）是二维离散信号，可以认为是从一维离散时间信号（也就是 序列）的推广。

(一)二维脉冲阵列信号的FT

考虑二维脉冲阵列信号：

$$p(x,y)=\sum _{k=0}^{M-1}\sum _{l=0}^{N-1}\delta (x-k\Delta x,y-l\Delta y)\text{\hspace{1em}(1)}$$
k,l只是序号，实际上$x$只能取离散值$k\Delta x$, $y$只能取$l\Delta y$.
$\Delta x,\Delta y$分别是图像在空域x和y方向的采样间隔。而$\frac{1}{\Delta x},\frac{1}{\Delta y}$是频域u和v方向的采样率.

显然，
$$p(x,y)=\delta (x,y)+\delta (x,y-\Delta y)+\cdots +\delta (x,y-(N-1)\Delta y)$$
$$+\delta (x-\Delta x,y)+\delta (x-\Delta x,y-\Delta y)+\cdots +\delta (x-\Delta x,y-(N-1)\Delta y)+$$
$$\cdots$$
$$+\delta (x-$$