线性回归理论推导

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理论推导

  机器学习所针对的问题有两种：一种是回归，一种是分类。回归是解决连续数据的预测问题，而分类是解决离散数据的预测问题。线性回归是一个典型的回归问题。其实我们在中学时期就接触过，叫最小二乘法。

  线性回归试图学得一个线性模型以尽可能准确地预测输出结果。 
  先从简单的模型看起： 
  首先，我们只考虑单组变量的情况，有： 
 使得  
  假设有m个数据，我们希望通过x预测的结果f(x)来估计y。其中w和b都是线性回归模型的参数。 
  为了能更好地预测出结果，我们希望自己预测的结果f(x)与y的差值尽可能地小，所以我们可以写出代价函数（cost function）如下： 
 
  接着代入f(x)的公式可以得到： 
 
  不难看出，这里的代价函数表示的是预测值f(x)与实际值y之间的误差的平方。它对应了常用的欧几里得距离简称“欧氏距离”。基于均方误差最小化来求解模型的方法我们叫做“最小二乘法”。在线性回归中，最小二乘法实质上就是找到一条直线，使所有样本数据到该直线的欧式距离之和最小，即误差最小。 
  我们希望这个代价函数能有最小值，那么就分别对其求w和b的偏导，使其等于0，求解方程。 
  先求偏导，得到下面两个式子： 

 
  很明显，公式中的参数m，b，w都与i无关，简化时可以直接提出来。 
  另这两个偏导等于0： 
  求解方程组，解得： 

 
  这样根据数据集中给出的x和y，我们可以求出w和b来构建简单的线性模型来预测结果。

  接下来，推广到更一般的情况： 
  我们假设数据集中共有m个样本，每个样本有n个特征，用X矩阵表示样本和特征，是一个m×n的矩阵： 

  用Y矩阵表示标签，是一个m×1的矩阵： 

  为了构建线性模型，我们还需要假设一些参数： 
 
（有时还要加一个偏差（bias）也就是， 为了推导方便没加，实际上结果是一样的）

  好了，我们可以表示出线性模型了： 
 
  h(x)表示假设，即hypothesis。通过矩阵乘法，我们知道结果是一个n×1的矩阵。 
  跟前面推导单变量的线性回归模型时一样，列出代价函数： 
 
  这里的1/2并无太大意义，只是为了求导时能将参数正好消掉而加上。 
  代价函数代表了误差，我们希望它尽可能地小，所以要对它求偏导并令偏导数为0，求解方程。 
  在求偏导之前先展开一下： 
 

  接下来对 求导，先给出几个矩阵求导的公式： 

  对代价函数 求关于 的偏导，并令其等于0。

  求偏导。 

  套用前面给出的矩阵求导公式。 

  最后化简得到： 

  好了，另这个偏导数等于0： 

  解得： 

OK，推导完毕。 
把知识点梳理一遍发现清楚了很多。写公式真的很累，明天再把线性回归的代码补上。 
(ง •̀_•́)ง