有序表

有序表

特点：有序表的任意操作的时间复杂度的指标都相同，只是常数项时间不同。

搜索二叉树

任意节点，它的左子树的任意节点都比这个节点小，它的右子树的任意节点都比这个节点大。按照中序遍历，搜索二叉树得到的结果是顺序递增的。因为搜索二叉树本身的性质，它不存在相同的两个节点。

搜索二叉树的几种常用操作

查找：确定一个节点是不是在搜索二叉树上，只需要从根节点开始遍历，将输入的值与经过的节点的值进行比较，相等证明该节点存在直接返回；小于进入节点的左子树；大于进入节点的右子树。直到遇到的节点为空，说明输入的值不在搜索二叉树上。

增加：前面的过程与查找基本相同，当碰到与输入的值相等的节点使，证明该值已经存在于二叉树，返回false；否则继续比较，比较过程于后续操作于查找相同。当遇到一个节点为空时，将输入的值插到该位置。

将值为4的节点插入到左边的搜索二叉树中

插入结果如上图。

删除：搜索二叉树删除时较为复杂，确定要删除的节点存在后，根据节点所处的位置可以分为4种情况：

1. 要删除的节点为叶子节点，直接删除；
2. 节点只有左孩子，没有右孩子，将该节点的父节点的左指针指向它的左孩子；
3. 节点只有右孩子，没有左孩子，将该节点的父节点的右指针指向它的右孩子；
4. 节点既有左孩子，又有右孩子，将该节点的后继节点代替到该节点。如果这个后继节点存在右孩子，将右孩子挂在后继节点的父节点的左孩子的位置，否则直接替代即可。

可以根据下面的图来理解搜索二叉树的删除情况（除最后一项所有的删除操作都是在第一幅图的基础上）。

如果要删除叶子节点4，直接删除即可。

如果要删除节点8，用节点7取代节点8.

如果要删除节点5，用节点4取代节点5。

如果要删除节点6，用节点7取代节点6。

如果在删除节点6时，节点7不是叶子节点，删除过程如下图。

要说明的是，如果要删除的节点既有左孩子又有右孩子，那么它的后继节点不可能存在左孩子。因为如果一个节点的孩子都存在，那么这个节点一定是它的右孩子本身或者右子树中处于最左的节点。

 

 

 

具有平衡性的树

左旋和右旋

左旋和右旋是调整树的平衡的基础操作。

如果一棵树不平衡(一般出现在插入新数据后)，那么它可能有以下四种情况：

1.  LL型：一个节点的左子树的高度大于右子树，且是由左子树的左子树造成的，通过右旋调整。
2. RR型：一个节点的右子树的高度大于左子树，且是由右子树的右子树造成的，通过左旋调整。
3. LR型：一个节点的左子树的高度大于右子树，且是由左子树的右子树造成的，通过先左旋后右旋调整。
4. RL型：一个节点的右子树的高度大于左子树，且是由右子树的左子树造成的，通过先右旋后左旋调整。

LR型是要把R代表的节点转成头节点，RL型同理。

RR型于RL型的调整操作大致与LL型和LR型的调整操作相同。

AVL树

AVL tree 是自平衡搜索二叉树，它对平衡性的判定于平衡二叉树相同，即一个节点的两个子树的高度的差值的绝对值不能超过1。

AVL树的基本操作

插入：AVL树的插入操作与搜索二叉树的插入相同，但在插入新节点后需要考虑整颗树的平衡情况。所以需要从插入位置开始向上回溯，判断经过的节点是否平衡。如果发现存在不平衡的节点，根据之前提到的可能出现的4种不平衡的情况，对该节点进行左旋或右旋的操作。

在情况最糟糕的情况下，每个节点都需要进行修改，此时执行一次插入操作的时间复杂度也不会超过O(logN)，首先不论左旋还是右旋都是常数项的操作，其次二叉树的高度为logN向下取整，也就是说在添加新节点后回溯所要经过的节点个数不会超过logN，二者相乘得到这个结果。

删除：删除时有以下几种情况

1. 要删除的节点是叶节点，直接删除；
2. 要删除的节点有替代的节点，那么必须从替代节点的位置开始向上回溯，进行平衡操作。

 

 

 

SB树（Size Balance Tree）

SB树和AVL树的原理基本相同，但在平衡性的判断方面SB树没有AVL树严苛，减少了调整平衡性的代价。而且SB树的实现要比AVL树简单。

SB树的平衡性：

一颗树的子树的节点数的个数，不能小于它的兄弟的子树的节点数的个数。

SB树如果不平衡(一般出现在插入新数据后)，那么它可能有以下四种情况：

1.  LL型：1的子树的个数大于C的子树的个数，通过右旋调整。
2. RR型：4的子树的个数大于B的子树的个数，通过左旋调整。
3. LR型：2的子树的个数大于C的子树的个数，通过先左旋后右旋调整。
4. RL型：3的子树的个数大于B的子树的个数，通过先右旋后左旋调整。

调整过程与之前提到的过程相同，但在这次调整结束后，还应该对调整后得到的树的各个节点进行判断，节点的左孩子和右孩子有没有发生变化，如果发生变化，就要继续递归执行调整操作。

SB树的基本操作

增加：先执行搜索二叉树的添加操作，如果添加后造成二叉树的不平衡，根据情况的不同进行上述平衡操作。需要注意的是，在递归执行调整操作的过程中，节点可能会出现“换头”，即本来的节点可能会变成之前节点的左孩子或右孩子。

删除：SB树删除一个节点后一定可以保证平衡，所以在执行搜索二叉树的删除后，不需要再进行调整，这也是SB树比AVL树实现简单的原因。