环形链表的快慢指针相遇问题证明

环形链表的快慢指针相遇问题证明

证明1：慢指针一定在环形链表一圈内遇上

首先假设慢指针的每次只走1步，快指针每次走2步，当慢指针走了k次后，慢指针共走了k步，而快指针走了2k步。

假如说，快指针和慢指针一定会相遇，那么一定是在环内，同时快指针已经走了n圈环。此时该问题也就可以转变为一下问题何时有解

$$2k-k=nB\to k=nB(n=1,2,...,N)$$

当n=1时，此时有k=B，也就是慢指针走的k步等于环的长度。此时是否有解呢？显然是有的，因为$k\in [0,A+B]$。所以肯定有一个值等于B。

而当$n\ge 1$ 时，k = nB，则需要考虑A+B是否大于nB，此时不一定有解

因此慢指针一定在环形链表一圈内遇上得证。

证明2： 当两指针相遇后，a = c

假设慢指针slow 走了 $l_{slow}=a+b$

快指针走了$l_{fast}=a+n(b+c)+b$

而有$2l_{slow}=l_{fast}$ ，因此求得$2(a+b)=a+n(b+c)+b\to a=c+(n-1)(b+c)$

而我们在证明1中证明了当且仅当n=1时，必有解，因此上式可以化为$a=c$

即快慢指针相遇时，另一指针从初始点出发，会与慢指针相遇在环的入口

如有错误，欢迎指正，大家一起进步！