【矩阵快速幂】中山纪念中学暑期游Day7——小L的数列

前言

看着与数学有关的题就紧张emmm......

题目

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Input

一行两个整数n和k。

之后1行k个正整数b1...bk。

之后1行k个正整数f1...fk。
 

Output

输出一个整数表示fn

Sample Input

样例输入1

5 4

1 2 3 4

4 3 2 1

样例输入2

100000 4

1 2 3 4

12 23 34 45

Sample Output

样例输出1

27648

样例输出2

33508797
 

【数据范围】

对于30%的数据，n≤10000.

对于另外20%的数据，bi=1,n≤1000000.

对于另外20%的数据，f[1]...f[k-1]=1.

对于另外20%的数据，k≤30.

对于100%的数据，1≤k≤200,1≤n≤40000000,1≤bi,fi≤998244352.

【样例解释】

1*2*2*3*3*3*4*4*4*4=27648

分析

贴个JZOJ的题解...：

sub1，sub2随便做，先考虑subtask3的一种做法，我们只要算那个不是一的数的指数，因此我们可以想到矩阵乘法，因为幂的乘法就相当于指数的加法，乘方相当于乘法。所以我们让向量表示当前为i，i-1---i-k中每个数中fk的指数，初始即为{0,0,0,0,...,0,1}，就可以用

for(int i=1;i<=K;++i) a[i][K]=b[i],a[i][i-1]=(i!=1); 这样的矩阵转移。

然后将每个数独立来看，分别做矩乘就可以拿到subtask4的分(复杂度：k^4*logn)。但其实因为矩阵相同，所以可以将矩阵的幂预处理出来(复杂度：k^3*logn)，然后就可以AC。

需要注意矩乘时指数是mod p-1（费马小定理）。

注意：n可能小于k，出题人只卡了没有特判的人10分，还送了只写这个的人10分，太良心了！！！！

好吧，好抽象...找找博客

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这个博客没看懂（我太弱了）：https://blog.youkuaiyun.com/enjoy_pascal/article/details/98750218

再来个博客（俩博客我就不信我看不懂）：https://blog.youkuaiyun.com/qq_37656398/article/details/98785796

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我醉了，真的看不懂

跑去问LZR，他说：“你想象一下，用脑子想”

这篇暂时咕咕掉... ...

暴力代码

#include<cstdio>
#include<cmath>
#include<cstring>
#include<iostream>
#include<algorithm>
using namespace std;
typedef long long ll;
const int MAXN=1e6,mod=998244353;
ll f[MAXN+5],b[MAXN+5];
ll n,k,ans;
ll Pow(ll a,ll x)//a^x记得取模
{
	ll ret=1,tmp=x;
	while(x--)
	{
		ret*=a;
		ret%=mod;
	} 
	return ret%mod;
}
int main()
{
	//freopen("seq.in","r",stdin);
	//freopen("seq.out","w",stdout);
	scanf("%lld%lld",&n,&k);
	bool flag=true;//fi是否全是1 
	for(int i=1;i<=k;i++)
		scanf("%lld",&b[i]);
	for(int i=1;i<=k;i++)
	{
		scanf("%lld",&f[i]);
		if(f[i]!=1)
			flag=false;
	}
	if(flag)
	{
		printf("1\n");
		return 0;
	}
	else
	{
		for(int i=k+1;i<=n;i++)
		{
			f[i]=1;
			for(int j=1;j<=k;j++)
				f[i]=(f[i]*(Pow(f[i-j],b[j])%mod))%mod;
			//printf("%d:%lld\n",i,f[i]%mod);
		} 
	}
	printf("%lld",f[n]%mod);
	return 0;
}