频率域图像增强笔记

图像增强一般是在频域进行，因此将图像从空域变成频域是一个很重要得图像预处理，然后在频域进行一些处理，最后在变换成空域。也就是：空域—>频域（处理）—>空域

频域增强方法

频域增强方法有一下几种：
1，低通滤波
2，高通滤波
3，带阻，带通
4，同态滤波

低通滤波又分为下面几种：

1. 巴特沃斯低通滤波
2. 高斯低通滤波
3. 理想低通滤波
   高通滤波又分为下面几种：
4. 理想高通滤波
5. 巴特沃斯高通滤波
6. 高斯高通滤波

傅里叶变换

傅里叶在这个特殊的领域的贡献是他指出了任何周期函数都可以表示为不同频率的正弦和/或余弦和的形式，每一个正弦余弦的乘以不同系数（现在称之为傅里叶级数）。无论这个函数有多复杂，只要它是周期的，而且满足某些软的数学条件，都可以用这样的和来表示。

如图所示，上面四个函数之和就是最后一个弯弯曲曲的函数。

傅里叶变换和频率域的介绍

一维傅里叶变换以及反变换：

给定F(u)通过傅里叶变换可以获得f(x)，上面这两个式子是傅里叶变换对。
这个等式我们很容易扩展到两个变量u,v

实际上，我们在用的时候大部分用的是离散傅里叶变换，上面的是连续的变换，因此单变量离散傅里叶变换是：
二维傅里叶变换以及反变换：
一个图像尺寸为M*N的函数f(x,y)的离散傅里叶变换由一下等式给出

变量u,v是变换或频率变量，x,y是空间或图像变量。跟一维中的一样，常量1/MN的位置不重要。u,v变大，则表现的波浪越密集。
傅里叶谱，相角，频率普：

R(u,v),I(u,v)分别是F(u,v)的实部跟虚部。
通常在进行傅里叶变换之前要将F(u,v)的原点移动到（M/2,N/2）的地方，因此要做一些变换，乘上（-1）^x+y：

这样就将它的原点进行了变换。
傅里叶变换性质：

1. 可分性：一个二维的傅里叶变换可用两次一维傅里叶变换表示
2. 线性算子：
   
3. 共轭对称性：如果F(u,v)是f(u,v)的傅里叶变换，那么
   
   我理解的取共轭就是取个负号。。。
4. 旋转性：如果空间域函数旋转角度为a1,那么，在变换域中此函数的傅里叶变换也旋转同样的角度
   
   
5. 等比例变换性：
   
6. 卷积定理：
   
7. 一些其他有用的FT对：
   
   频域滤波基本步骤
   
   输入图像----前处理----傅里叶变换----滤波函数----傅里叶反变换----后处理（取实部，裁剪）
   平滑的频率域滤波器
   边缘和其他锐化变化（噪声）在图像中的灰度级中主要出于傅里叶变换的高频部分。因此平滑可以通过衰减指定图像傅里叶变换中高频成分的范围来实现。
   1.理想低通
   
   D(u,v)是（u,v）点距离频率矩形原点的距离。小于D0范围的频率输出，范围之外的变为0.
   
   
   （a）是原图像，然后半径分别是5,15,30,80和230的截止频率进行理想低空滤波的结果。
   2.巴特沃斯低通BLPF
   
   这个滤波器是离远点越远，它的频率越高（D0是原点），一般来说 n不需要太高，n=2或者3就可以，
   
   第一幅图像是它的韩式透视图，第二幅是一图像显示的滤波器，第三幅是n从1到4的滤波器横截面，当n趋近于正无穷时候，截面图就趋近于矩形。
   高斯低通滤波器
   
   
   低通滤波的应用
   
   这里有一位女士，她想把眼角的皱纹清除掉，我们可以认为，皱纹是一系列高频的数据，是边缘线，用低通的话高频的图像将会被过滤掉，细节将不会被显示。
   频率域锐化滤波器
   也分为三种：理想高通， 巴特沃斯高通，高斯高通
   
   其实高通和低通的关系是：1-低通=高通。后面会证明为什么这样。
   理想高通的实例：
   
   D0=15,30,80的结果，我们会发现，D0太高会把有效信息去除，因此选择振铃不能太高。

巴特沃斯高通的实例：

高斯高通的实例：

练习题：有的我就直接截得我写的作业，要不然一个一个打太麻烦。
请证明第二版课本习题4.5中提及的频域内高通滤波器与低通滤波器的关系式子

对于公式

给出的逆谐波滤波回答下列问题：
（a）解释为什么当Q是正值时滤波对去除“胡椒”噪声有效？
（b）解释为什么当Q是负值时滤波对去除“盐”噪声有效？

分析：
分母为一个常数，这个公式是求他的加权平均值。
（a）当Q为一个正数是，在（x,y）邻域内，胡椒噪声（PDF很小）的权重为0，因此对加权平均的影响很小。所以滤波后的噪声点的值与周围的值很接近，消除了胡椒噪声。
（b）当Q为一个负数是，在（x,y）邻域内，盐噪声（PDF很大）的权重为就是很小了，因此对加权平均的影响很小。所以滤波后的噪声点的值与周围的值很接近，消除了盐噪声。