矩阵快速幂模版

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本文介绍了一种利用矩阵快速幂的方法来高效求解线性递推问题，包括斐波那契数列及更复杂的线性递推序列。通过具体的代码实现展示了如何将递推关系转化为矩阵形式，并使用快速幂进行高效计算。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

输入样例是

1 1 12 也就是第12个斐波那契数列，

原理是

f(n) = |1 1| * |f(n-2)|

f(n-1)= |1,0| * |f(n-1)|

#include <iostream>
#include <string.h>
#include <stdio.h>
using namespace std;
struct ttt{
    int map1[200][200];
};
int n;
ttt fun1(ttt &a,ttt &b){
    ttt c;
    int i,j,k;
    for(i=1;i<=n;i++){
        for(j=1;j<=n;j++){
            c.map1[i][j]=0;
            for(k=1;k<=n;k++)
                c.map1[i][j]+=a.map1[i][k]*b.map1[k][j];
        }
    }
    return c;
}
ttt fun2(ttt &a){
    ttt b;
    int i,j,k;
    for(i=1;i<=n;i++)
        for(j=1;j<=n;j++){
           b.map1[i][j]=0;
           for(k=1;k<=n;k++)
                b.map1[i][j]+=a.map1[i][k]*a.map1[k][j];
        }
        return b;
}
ttt pow1(ttt &a,int k){
    ttt b;
    int i,j;
    memset(b.map1,0,sizeof(b.map1));
    for(i=1;i<=n;i++)
        for(j=1;j<=n;j++)
            if(i==j)
                b.map1[i][j]=1;
            while(k){
                //cout << "k=" <<k <<endl;
                if(k&1)
                    b=fun1(b,a);
                    k=k>>1;
                    a=fun2(a);
            }
            return b;
}

int main(){
    freopen("in.txt","r",stdin);
    int i,j,k,l,f1,f2,f3,t1,t2,t3;
    int r,c;
    cin >>f1 >> f2>> k;
    ttt a;
    memset(a.map1,0,sizeof(a.map1));
    n=2;
    a.map1[1][1]=1;
    a.map1[1][2]=1;
    a.map1[2][1]=1;
    a.map1[2][2]=0;
    a=pow1(a,k-2);
    /*for(i=1;i<=2;i++){
        for(j=1;j<=2;j++)
            cout << a.map1[i][j] << "  ";
        cout <<endl;
    }*/
    cout << a.map1[1][1]*f2+a.map1[1][2]*f1 <<endl;
    return 0;
}

f(n)=b1*f(n-1)+a1*f(n-2)+c 输入 f1 f2 a1 b1 c1 n

例子

6 7 3 2 4 3

输出

代码:

#include <iostream>
#include <string.h>
#include <stdio.h>
using namespace std;
struct ttt{
    int map1[200][200];
};
int n;
ttt fun1(ttt &a,ttt &b){
    ttt c;
    int i,j,k;
    for(i=1;i<=n;i++){
        for(j=1;j<=n;j++){
            c.map1[i][j]=0;
            for(k=1;k<=n;k++)
                c.map1[i][j]+=a.map1[i][k]*b.map1[k][j];
        }
    }
    return c;
}
ttt fun2(ttt &a){
    ttt b;
    int i,j,k;
    for(i=1;i<=n;i++)
        for(j=1;j<=n;j++){
           b.map1[i][j]=0;
           for(k=1;k<=n;k++)
                b.map1[i][j]+=a.map1[i][k]*a.map1[k][j];
        }
        return b;
}
ttt pow1(ttt &a,int k){
    ttt b;
    int i,j;
    memset(b.map1,0,sizeof(b.map1));
    for(i=1;i<=n;i++)
        for(j=1;j<=n;j++)
            if(i==j)
                b.map1[i][j]=1;
            while(k){
                //cout << "k=" <<k <<endl;
                if(k&1)
                    b=fun1(b,a);
                    k=k>>1;
                    a=fun2(a);
            }
            return b;
}

int main(){
    freopen("in.txt","r",stdin);
    int i,j,k,l,f1,f2,f3,t1,t2,t3;
    int r,c;
    int a1,b1,c1;
    cin >>f2 >> f1>>b1>>a1>>c1>> k;
    ttt a;
    memset(a.map1,0,sizeof(a.map1));
    n=3;
    a.map1[1][1]=a1;
    a.map1[1][2]=b1;
    a.map1[1][3]=1;
    a.map1[2][1]=1;
    a.map1[2][2]=0;
    a.map1[2][3]=0;
    a.map1[3][1]=0;
    a.map1[3][2]=0;
    a.map1[3][3]=1;
    a=pow1(a,k-2);
    /*for(i=1;i<=3;i++){
        for(j=1;j<=3;j++)
            cout << a.map1[i][j] << "  ";
        cout <<endl;
    }*/
    cout << (a.map1[1][1]*f2)+(a.map1[1][2]*f1)+a.map1[1][3]*c1 <<endl;
    return 0;
}