高斯消元的应用——解模线性方程组

本文介绍了如何使用高斯消元法解决多元一次方程组,并探讨了模线性方程组的求解方法。特别地,文章详细解释了在普通线性方程组和模线性方程组中如何构造倒三角矩阵来简化问题。

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高斯消元想必大家应该都不陌生
对于数学中的解多元一次方程组使用的一般都是高斯消元(当年蒟蒻的我还不知道高斯消元这么low)
我们知道,对于高斯消元解普通线性方程时,
只需将方程造成一个倒三角即可
即每个方程比上一个方程少一个未知数,
然后从最后一个方程开始依次计算出每个未知数的大小
当然有些情况下,在我们消元到某一个方程时,会发现将要消去的未知数已经没了
于是我们可以在后面找到一个该未知数系数不为0的方程,与当前方程进行交换
当然如果在后面找不到这样一个方程,无视这个未知数将他当成0就好了
毕竟一般的解方程都是输出一组解即可
代码如下:

int a[M][M],ans[M],Id[M];
//a[1~n][1~m]代表每个方程每个未知数的系数,a[1~n][0]代表这个方程的值
//ans[1~m]代表每个未知数的解
//Id[1~n]代表每个方程解出的是哪一个未知数
void solve(){
    memset(Id,-1,sizeof(Id));
    for(int i=1,id=1;i<=n;i++){
        if(id==m+1){
            for(int j=id;j<=n;j++)
                if(a[j][0]){puts("-1");exit(0);}
                //解完后剩下的方程所有的未知数系数均为0,值确不为0,所以此时无解
            break;
        }
        bool f=0;
        while(!f&&id<=m){
            for(int j=i;j<=n;j++)
                if(a[j][id]){f=1;break;}
            if(f){
                for(int j=i;j<=n;j++)
                    if(a[j][id]){//找到第一个第id个未知数系数不为0的方程
                        for(int k=0;k<=m;k++)swap(a[i][k],a[j][k]);
                        break;
                    }
                for(int j=i+1;j<=n;j++)
                    if(a[j][id])for(int k=0,tmp=a[j][id];k<=m;k++)
                        a[j][k]=a[i][id]*a[j][k]-tmp*a[i][k];//消元,构造倒三角
                Id[i]=id;
            }
            id++;//该未知数不存在,无视之,但当前方程还存在,应用其去解下一个未知数
        }
    }
    for(int i=n;i>=1;i--){
        if(Id[i]==-1)continue;
        ans[Id[i]]=a[i][0]/a[i][Id[i]];//计算解
        for(int j=i-1;j>=1;j--)a[j][0]=a[j][0]-ans[Id[i]]*a[j][Id[i]];
    }
}

那么又怎么解模线性方程组呢
模线性方程组,顾名思义,即多个形如(a1x1+a2x2+a3x3++anxn)%P=k的方程组成的方程组
这种方程这么解呢,其实和普通的线性方程组没有什么区别
现在%P意义用上述方法得到以下n个式子
b1x1=k1
b2x2=k2
b3x3=k3

bnxn=kn
而后在P范围内枚举,找到第一个j满足bj%P==k即是一组解
然而这仅适用于P为质数的情况
由于质数与小于它的所有数都互质,所以可以这样计算
但若不是互质我们只需将其分解为n个质数,在这%primei都进行一次解方程
最后从小到大找到以一个满足每一个方程的数即可
代码就不给出了,只需在之前代码的基础上稍作改动即可

### 使用高斯消法解线性方程组 #### 高斯消法概述 高斯消法是一种用于解决线性方程组的直接方法。该算法的核心在于通过一系列行变换操作,将给定的增广矩阵转换成上三角形式,从而简化求解过程[^1]。 #### 行变换原则 为了达到上述目标,在执行过程中会遵循特定规则来进行必要的调整: - **交换两行的位置**:如果当前处理列中的主素(即对角线上位置处数值)过小,则可以与其他下方非零项所在行互换以避免除数接近于零的情况发生; - **乘以常数因子并加到另一行上去**:利用选定好的支点值作为基础来消除其他同行内对应变量的影响; 这些基本动作能够帮助逐步构建起所需的阶梯状结构[^2]。 #### 实现流程详解 具体实施步骤如下所示: 1. 对每一个未知量做循环遍历直至完成整个矩阵扫描工作为止。 2. 寻找每一轮迭代里最适合作为主使用的最大绝对值成员,并据此决定是否需要调换某些行列序号以便优化计算稳定性。 3. 应用初等变换手段依次清除掉位于同一纵坐标方向上的其余干扰因素,使得后续待处理部分呈现出明显的层次感分布特征。 4. 当所有前导成分都被妥善安置好之后,便可以从底部开始反向推算各个独立参量的确切取值情况了——这一步骤被称为“回带”。 #### Python代码实例展示 下面给出一段基于Python编写的简单版本程序用来说明如何运用此技术解决问题: ```python import numpy as np def gaussian_elimination(A, b): n = len(b) for i in range(n): max_row = i + np.argmax(np.abs(A[i:, i])) A[[i, max_row]] = A[[max_row, i]] b[[i, max_row]] = b[[max_row, i]] factor = A[i+1:, i] / A[i, i] A[i+1:] -= factor[:, None] * A[i] b[i+1:] -= factor * b[i] x = np.zeros_like(b) for i in reversed(range(n)): x[i] = (b[i] - np.dot(A[i,i+1:], x[i+1:])) / A[i,i] return x A = [[2., 1., -1.], [-3., -1., 2.], [-2., 1., 2.]] b = [8., -11., -3.] print('高斯消法,最终的解X_i(角标从小到大): {}'.format(gaussian_elimination(A, b))) ``` 这段脚本定义了一个名为`gaussian_elimination()` 的函数接受两个参数分别是系数数组 `A` 和右侧向量 `b`, 它们共同构成了完整的线性系统描述。经过内部逻辑运算后返回的结果就是所求得的一系列根值列表[^3]。
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