Codeforces F - Serval and Bonus Problem

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本文探讨了Beta函数的概念及其在复杂算法优化中的应用，通过解析代码实现，展示了如何利用Beta函数解决特定数学问题，重点讲解了算法背后的数学原理与编程技巧。

大佬链接
Beta函数是个什么鬼。。
这个式子居然有大佬能化出来真是跪了。。。。。。
注意文中的 $\frac {1} {i}$ 是错的。
看代码就知道是 $\frac {1} {i!}$

AC Code:

#include<bits/stdc++.h>
#define maxn 100005
#define mod 998244353
#define LL long long
using namespace std;
 
int wlen,w[maxn]={1},r[maxn],lg[maxn],inv[maxn]={1,1},fac[maxn]={1,1},invf[maxn]={1,1};
int Pow(int base,int k){
    int ret = 1;
    for(;k;k>>=1,base=1ll*base*base%mod)
        if(k&1)
            ret=1ll*ret*base%mod;
    return ret;
}
void Init(int n){
    for(wlen=1;n>=2*wlen;wlen<<=1);
    for(int i=1,pw=Pow(3,(mod-1)/(2*wlen));i<=2*wlen;i++) w[i] = 1ll * w[i-1] * pw % mod;
    for(int i=2;i<=2*wlen;i++) lg[i] = lg[i>>1] + 1;
    for(int i=2;i<=2*wlen;i++) inv[i] = 1ll * (mod - mod / i) * inv[mod % i] % mod,
        fac[i] = 1ll * fac[i-1] * i % mod,
        invf[i] = 1ll * invf[i-1] * inv[i] % mod;
}
 
void NTT(int *A,int n,int tp){
    int lgn = lg[n];
    for(int i=0;i<n;i++) r[i] = (r[i>>1]>>1) | ((i&1)<<(lgn-1));
    for(int i=0;i<n;i++) if(i<r[i]) swap(A[i],A[r[i]]);
    for(int L=2;L<=n;L<<=1)
        for(int st=0,l=L>>1,inc=wlen/l;st<n;st+=L)
            for(int k=st,x=0;k<st+l;k++,x+=inc)
            {
                int tmp = 1ll * (tp == 1 ? w[x] : w[2*wlen-x]) * A[k+l] % mod;
                A[k+l] = (A[k] - tmp) % mod , A[k] = (A[k] + tmp) % mod;
            }
    if(tp == -1)
        for(int i=0,invn=Pow(n,mod-2);i<n;i++)
            A[i] = 1ll * A[i] * invn % mod;
}
 
int n,k,l;
int A[maxn],B[maxn];
 
int main(){
    scanf("%d%d%d",&n,&k,&l);
    Init(4*n+2);
    for(int i=k;i<=n;i++) A[i] = invf[i];
    for(int i=0;i<=n;i++) B[i] = (i&1 ? -1 : 1) * invf[i];
    int len = 1;
    for(;len<=2*n;len<<=1);
    NTT(A,len,1),NTT(B,len,1);
    for(int i=0;i<len;i++) A[i] = 1ll * A[i] * B[i] % mod;
    NTT(A,len,-1);
    int ans = 0;
    for(int i=k;i<=n;i++)
        ans = (ans + 1ll*Pow(2,i)*Pow(fac[i],2)%mod*Pow(1ll*fac[2*i+1]*fac[n-i]%mod,mod-2)%mod*A[i]) % mod;
    ans = 1ll * ans * fac[n] % mod * l % mod;
    printf("%d\n",(ans+mod)%mod);
}