51nod 最大M子段和 V1,V2,V3 dp 贪心 heap（bzoj2288）

最新推荐文章于 2021-08-24 11:36:10 发布

EMber _

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分类专栏： bzoj 做题小结 DP 贪心优先队列

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博客探讨了如何从给定序列中选择最多M个不相交部分，以最大化总和。V1使用简单的动态规划，V2和V3采用贪心策略，处理连续正数和负数段，利用小根堆合并，保证最优解。当正数段数量大于等于M时，直接选取所有正数。

题意：给一个长度为n的序列，要求选出m个不相交的部分，要求总和最大，如果m>= n个数中正数的个数，那么输出所有正数的和。。
V1:n,m<=5000.
V2:n,m<=50000.
V3:n,m<=500000.

V1:
一个简单的DP。
明显有f[i][j]表示做到第i个，选择了j段。
那么可以推导：
新开一段 $f[i][j]=f[i-1][j-1]+a[i]$
不选 $f[i][j]=f[i-1][j]$
承接前一段 $f[i][j]=max(f[i-1][j]+a[i])$ ,其实并不是这样做的，这样子写很明显是错的，想想为什么。

因为这样不能保证连续k个数相邻（假设第j段取了k个）。
那么我们就要换一种思想。
设f[i][j]表示前i个数字，选择了j段，不一定选j。
g[i][j]表示一定选j。
那么有：
$g[i][j]=max(f[i-1][j]+a[i],g[i-1][j]+a[i])$
$f[i][j]=max(f[i-1][j],g[i][j])$
是我很久以前做的了，所以是pascal的,方法不是我上面的这个，是f_zyj的。

uses math;
var
    dp,pre,a:array[0..1000000]of int64;
    k,p,m,n,ans:int64;
    i,j:longint;
begin
    readln(n,m);
    dp[0]:=-maxlongint;
    for i:=1 to n do
    begin
        readln(a[i]);
        dp[i]:=-maxlongint;
    end;
    pre[0]:=0;
    ans:=maxlongint;
    for j:=1 to m do
    begin
        ans:=-maxlongint;;
        for i:=1 to n do
        begin
            if i=1 then dp[i]:=pre[i-1]+a[i]
            else 
            begin
                if dp[i-1]>pre[i-1] then
                dp[i]:=dp[i-1]+a[i]
                else dp[i]:=pre[i-1]+a[i];
            end;
            pre[i-1]:=ans;
            ans:=max(ans,dp[i]);
        end;
        pre[n]:=ans;
    end;
    writeln(pre[n]);
end.

V2,V3其实都是同一种方法，时间复杂度nlogn。
具体方法是贪心。
把所有连续正数，负数段处理出来，接下来的问题就是如何处理。
如果正数段<=m直接选，>m我们贪心做。
每次找到绝对值最小的一个，然后用小根堆和左右两个合并，可以证明最优：
设S(i)表示第i个数（绝对值最小）（合并以后）的绝对值。
1.如果i是负数，那么相邻两个是正数，权值减少S(i)。
2.如果i是正数，那么相邻两个是负数，权值仍然减少S(i).
一直处理直到正数<=m为止。
V2也是bzoj2288的原题。
V2:

#include<cstdio>
#include<algorithm>
#include<cstring>
#include<queue>
#define abs(x) (x>0?x:-x)
#define fo(i,a,b) for(int i=a;i<=b;i++)
#define fd(i,a,b) for(int i=a;i>=b;i--)
using namespace std;
const int N=1e6+5;
int n,m,l[N],r[N];
typedef long long ll;
ll a[N];
struct node
{
    int x;
    bool operator <(const node &y) const
    {
        return abs(a[x])>abs(a[y.x]);
    }
};
priority_queue<node>q;
int main()
{
    scanf("%d%d",&n,&m);
    ll y=0,ans=0;
    int tot=0;
    fo(i,1,n)
    {
        ll x;
        scanf("%lld",&x);
        if(!x)continue;
        if (!y)
        {
            y=x;
            continue;
        }
        if (x>0)
        {
            if (y>0)y+=x;
            else a[++tot]=y,y=x;
        }
        else
        {
            if (y<0)y+=x;
            else a[++tot]=y,y=x;
        }
    }
    a[++tot]=y;
    int cnt=0;
    fo(i,1,tot)
    {
        if (a[i]>0)++cnt,ans+=a[i];
        l[i]=i-1,r[i]=i+1;
        q.push((node){i});
    }
    l[0]=0;r[0]=1;
    l[tot+1]=tot,r[tot+1]=tot+1;
    int tmp,L,R;
    while (cnt>m)
    {
        int x=q.top().x;
        q.pop();
        if (l[r[x]]!=x||r[l[x]]!=x)continue;
        if (!a[x]||(a[x]<0&&(l[x]<1||r[x]>tot)))continue;
        ans-=abs(a[x]),--cnt;
        a[x]=a[x]+a[l[x]]+a[r[x]];
        L=l[l[x]],R=r[r[x]];
        l[x]=L,r[x]=R,r[L]=x,l[R]=x;
        q.push((node){x});
    }
    printf("%lld\n",ans);
}

至于V3，其实也差不多，只是把首尾相接然后一起做罢了。
稍微有点小细节修改一下就OK

#include<cstdio>
#include<algorithm>
#include<cstring>
#include<queue>
#define abs(x) (x>0?x:-x)
#define fo(i,a,b) for(int i=a;i<=b;i++)
#define fd(i,a,b) for(int i=a;i>=b;i--)
using namespace std;
const int N=1e6+5;
int n,m,l[N],r[N];
typedef long long ll;
ll a[N];
struct node
{
    int x;
    bool operator <(const node &y) const
    {
        return abs(a[x])>abs(a[y.x]);
    }
};
priority_queue<node>q;
int main()
{
    scanf("%d%d",&n,&m);
    ll y=0,ans=0;
    int tot=0;
    fo(i,1,n)
    {
        ll x;
        scanf("%lld",&x);
        if(!x)continue;
        if (!y)
        {
            y=x;
            continue;
        }
        if (x>0)
        {
            if (y>0)y+=x;
            else a[++tot]=y,y=x;
        }
        else
        {
            if (y<0)y+=x;
            else a[++tot]=y,y=x;
        }
    }
    a[++tot]=y;
    while (tot>1&&((a[tot]>0&&a[1]>0)||(a[tot]<0&&a[1]<0)))
    a[1]+=a[tot],tot--;
    int cnt=0;
    fo(i,1,tot)
    {
        if (a[i]>0)++cnt,ans+=a[i];
        l[i]=i-1,r[i]=i+1;
        q.push((node){i});
    }
    l[1]=tot;r[tot]=1;
    int tmp,L,R;
    while (cnt>m)
    {
        int x=q.top().x;
        q.pop();
        if (l[r[x]]!=x||r[l[x]]!=x)continue;
        if (!a[x]||(a[x]<0&&(l[x]<1||r[x]>tot)))continue;
        ans-=abs(a[x]),--cnt;
        a[x]=a[x]+a[l[x]]+a[r[x]];
        L=l[l[x]],R=r[r[x]];l[l[x]]=r[l[x]]=l[r[x]]=r[r[x]]=0;
        l[x]=L,r[x]=R,r[L]=x,l[R]=x;
        q.push((node){x});
    }
    printf("%lld\n",ans);
}