Vijos P1179 邮票面值设计（动态规划，深搜）

P1179邮票面值设计

Accepted

标签： 搜索 动态规划 NOIP提高组1999

描述

给定一个信封，最多只允许粘贴N张邮票，计算在给定M（N+M<=10）种邮票的情况下（假定所有的邮票数量都足够）,如何设计邮票的面值，能得到最大max ，使得1～max之间的每一个邮资值都能得到。

例如，N=3，M＝2，如果面值分别为1分、4分，则在l分～6分之间的每一个邮资值都能得到（当然还有8分、9分和12分）：如果面值分别为1分、3分，则在1分～7分之间的每一个邮资值都能得到。可以验证当N=3，M＝2时，7分就是可以得到连续的邮资最大值，所以MAX=7，面值分别为l分、3分。

样例输入：共一行，两个整数，分表为N与M的值。

格式

输入格式

一行，分别为N,M。

输出格式

两行。

第一行为m种邮票的面值，按升序排列，各数之间用一个空格隔开。

第二行为最大值。

如果有多解，输出字典序最大的一个。

样例1

样例输入1[复制]

3 2

样例输出1[复制]

1 3
MAX=7

限制

各个测试点1s

来源

NOIP1999

思路

1）n枚邮票，m种面额，要使得邮资连续，显然1是必须的

2）样例中3枚邮件，有两种面额，一种为1，要求另一种面额，使得连续的邮资数最多。显然由面额1，可以得到1，2，3的邮资，因为只有3枚，所以只能连续到3，如果要得到更大的邮资，则另一种面额数一定在2，3，4之间，也就是a[i]+1~a[i]*n+1

3）若面值为1，2，则有：

    1=1

    2=2

    3=1+2

    4=2+2

    5=2+2+1

    6=2+2+2

    7=2+2+2+1（已经超过了给定的枚数)

故：最多连续到6

4）若面值为1，3，则有

1=1

2=1+1

3=3

4=3+1

5=3+1+1

6=3+3

7=3+3+1

8=3+3+1+1（超过了指定枚数）

最多连续到7

5）若面值为1，4，则有

1=1

2=1+1

3=1+1+1

4=4

5=4+1

6=4+1+1

7=4+1+1+1（超过了三枚）

最多连续到6

6）综上，显然需要用DFS来搜索邮件的m种面额，从1开始依次搜索，对于每一个新的面额，都要判断一下所能得到的最大连续值

7）主函数

输入n,m

开始搜索第1种面额dfs(1)

输出各种面额

输出最大的连续数值

8）dfs(x)的实现

搜索范围：前一种面额+1~最大连续值+1

搜索条件：不超过m

相关操作：如果得到更大的连续值，则一时更新最大连续值cnt，同时保存所有的面额ans[i]

提前处理：另写函数cal(num)实现num种邮票所能得到的最大连续值

9）cal(num)计算num种邮票的最大连续值

判断的办法，其实就是从0开始，每次加1，逐个数地计算所需要的最少邮票数，如果在n的范围内，就继续，如果某一邮资需要量超过n枚邮票，则意味着不连续

代码

#include <iostream>
using namespace std;
int dp[1010],n,m,arr[11],cnt,ans[11];
int cal(int num)		//计算num种邮票所能形成的最大连续面额 
{
    if(!num)return 0;
    for(int i=0;i<1010;i++)
		dp[i]=100000;		//赋初值勤 
    dp[0]=0;				
    int x=0;
    while(dp[x]<=n)			//如果邮资x的最少邮票数不超过n枚 
    {
        for(int i=1;i<=num;i++)
            dp[x+arr[i]]=min(dp[x+arr[i]],dp[x]+1);//利用动规背包求每一种邮资所需的邮票数 
        x++;
    }
	return x-1;
}
inline void dfs(int x)		//深搜第x种面额 
{
	int now=cal(x-1);		//计算前x-1种邮票成形成的最大连续面额 
	if(x<=m)								//如果还没到第m种 
	    for(int i=now+1;i>=arr[x-1];i--)	//在a[i]*n+1~a[i]+1中找下一个面额 
	    {
	        arr[x]=i;						//第x种面额为i 
	        dfs(x+1);						//深搜第x+1种面额 
	    }    
	else
        if(now>cnt)						//如果超过了最大连续值 
        {
            cnt=now;					//更新最大连续值 
            for(int i=1;i<=m;i++)		//保存各面额 
                ans[i]=arr[i];
        }
}
int main()
{
    cin>>n>>m;				//最多n张邮票，m种 
    dfs(1);					//深搜第一种面额 
    for(int i=1;i<m;i++)   //输出前m-1种面额 
        cout<<ans[i]<<' ';
    cout<<ans[m]<<endl;		//输出最后一种面额 
    cout<<"MAX="<<cnt;		//输出最大值 
    return 0;
}