求解投骰子游戏问题

[问题描述] 玩家根据骰子的点数决定走的步数，即骰子点数为1时可以走一步，点数为2时可以走两步，点数为n时可以走n步。求玩家走到第n步(n <= 骰子最大点数且投骰子方法唯一)时总共有多少种投骰子的方法数.

[输入描述] 输入包含一个整数n(1 <= n <= 6)

[输出描述] 输出一个整数，表示投骰子的方法数。

[输入样例] 6

[样例输出] 32

[思路] 设f(n)表示玩家走到第n步时投骰子的方法数。显然:

n = 1时，只有投骰子点数为1的一种情况。即f(1) = 1.

n = 2时，只有两次投骰子点数为1和一次投骰子点数为2的两种情况。即f(2) = 2

对于n,第一次投骰子点数为1，剩余n-1步,此时f(n) = f(n-1);第一次投骰子点数为2,剩余n-2步，此时f(n)=f(n-2)；…第一次投骰子点数为n,只有一种情况，此时f(n)=1.所以有f(n)=f(n-1)+f(n-2)+f(n-3)+…+f(1)+1

对应的递归模型如下:
$$f(n)=\{\begin{array}{l}1,当n=1时\\ 2,当n=2时\\ f(n-1)+f(n-2)+....f(1)+1,当n>2时\end{array}$$
可以采用以下递归算法求解:

long f(int n)
{
    if(n == 1)
    {
        return 1;
    }
    if(n == 2)
    {
        return 2;
    }
    long sum = 1;
    for(int i = 1;i <= n - 1;i++)
    {
        sum += f(i);
    }
}

一个更优的方法是采用非递归方法。看看前面递归模型的递推过程，可以总结出如下的递推关系。

f(1) = 1
f(2) = 2
f(3) = f(2) + f(1) + 1 = (2 + 1) + 1 = 2的平方 - 1 + 1 = 2的平方
f(4) = f(3) + f(2) + f(1) + 1 = (2的平方 + 2 + 1) + 1 = 2的3次方 - 1 + 1 = 2的3次方
f(5) = f(4) + f(3) + f(2) + f(1) + 1 = (2的三次方 + 2的平方 + 2 + 1) + 1 = 2的四次方 - 1 + 1 = 2的4次方

依次类推，可以得到f(n) = 2^n-1 .对应的完整程序如下：

[完整程序]

#include <iostream>
using namespace std;
int main()
{
    int n;
    cin >> n;
    cout << (long)pow(2,n-1) << endl;
    return 0;
}