2021HDU多校第四场5-Didn‘t I Say to Make My Abilities Average in the Next Life?!

题目链接HDU 6989

题意：
有一个序列 {$a_n$} 给定m个询问，每次给定 $l,r$ ，随机在 $[l,r]$ 中选出一个子区间，计算平均值。这里平均值的定义为 ( m a x { a l , . . . , a r } + m i n { a l , . . . , a r } ) / 2 (max\{a_l, ... , a_r\} + min \{a_l, ..., a_r \}) / 2 (max{al​,...,ar​}+min{al​,...,ar​})/2，求$[l,r]$平均值的期望。

思考：
首先该问题的平均值可以分为最大值和最小值来分别求。
这道题如果只是单纯的考虑$[1,n]$，那么就是一个经典的单调栈维护每个 $a_i$ 的为最值的区间。
但是考虑对于有多个询问，我们考虑如何来实现。
我们离线该问题，然后依旧采用枚举右端点，然后去查询左端点的方式来解决问题。
如果对于每个右端点$r$，我们都处理左端点 $1-r$ 到它的最值（下面以最大值为例），用 $A[R,i]$ 来表示该值。
对于 A 矩阵，我们可以知道，每次查询的的就是从 $A[L,L]$ 到 $A[R,R]$ 的子矩阵。
考虑如何去维护这个矩阵？
这里引入一个经典问题—线段树维护历史信息和
我们对于第 i 行，知道了 $A[i][1]...A[i][i]$ ，那么对于 $A[i+1]$ 的这一行，只会改变 $a[i+1]$ 为最值的那个区间，即从上一个比 $a[i+1]$ 大的那个元素后一个开始，到 $i+1$ ，这一段区间都是的值都是 $a[i+1]$。这样对每个 $A[i]$ 可以用一棵线段树来维护，而上一个大于它的可以用单调栈来维护。

由于这道题可以离线，我们可以用一棵线段树，采用树状数组类似的方式来维护每一个$A[][j]$，在 $A[i][j]$ 第一次出现的时候，给后面每一行这个位置都加上 $A[i][j]$ ，然后在被替换的时候，后面每一行都减去 $A[i][j]$ ，这样的话可以采用在第一次出现的第 $i$ 行加上 $(n+1-i)\ast A[i][j]$，被替换的第 $k$行减去 $(n-k+1)\ast a[k-1][j]$ ，然后两者作差一下就是在第 i 行减去 $i\ast A[i][j]$ ，第 k 行加上 $k\ast A[i][j]$，这样就的更新就是 $O(n)$ 次的。

本来这道题还要维护 tag，但是可以发现加入新的值的时候，一定会先删除掉前面的点。但是覆盖的时候还是需要tag，这里可以采用一种比较巧妙的方法，直接记录这个区间对应叶子节点的值（如果都一样的话），这样的话，就可以直接通过这个记录的值来达到 tag 的效果。

对于强制在线的情况，可以采用可持久化线段树的方式，更新是 $O(n)$ 级别的，所以最多新建 $O(nlo{g}_{2}n)$ 个点。复杂度是可以接受的。

#include<bits/stdc++.h>
#define For(aa, bb, cc) for(int aa = (bb); aa <= (int)(cc); ++aa)
#define mk make_pair
using namespace std;
using Pair = pair<int, int>;
typedef long long LL;
const int maxn = 2e5 + 10;
constexpr int mod = 1e9 + 7;
int n, m;
int a[maxn];
vector<Pair> G[maxn];
int stmax[maxn], topa, stmin[maxn], topi;
LL ans[maxn];

LL qpow(LL x, LL y = mod - 2){
	LL res = 1;
	while(y){
		if(y & 1) res = res * x % mod;
		x = x * x % mod;
		y >>= 1;
	}
	return res;
}

void fadd(LL &x, LL y){
	x += y;
	if(x >= mod) x -= mod;
}

#define lr (node << 1)
#define rr (node << 1 | 1)
#define mid ((l + r) >> 1)

LL sum[maxn << 3], tr[maxn << 3];
LL point[maxn << 3], pointid[maxn << 3];
//sum: history sum, tr: now val; only cover the interval

void update(int node, int l, int r, int L, int R, int val, int id){
	fadd(sum[node], mod - 1ll * (R - L + 1) * val % mod * id % mod);
	fadd(tr[node], 1ll * (R - L + 1) * val % mod);
	//cout<<node<<" "<<l<<" "<<r<<" "<<val<<" "<<id<<" ";
	//cout<<sum[node]<<" "<<tr[node]<<endl;
	if(L <= l && r <= R){
		fadd(point[node], val);
		fadd(pointid[node], mod - 1ll * val * id % mod);
		//cout<<l<<" "<<r<<" "<<point[node]<<" "<<pointid[node]<<endl;
		return ;
	}
	if(R <= mid) return update(lr, l, mid, L, R, val, id);
	else if(L > mid) return update(rr, mid + 1, r, L, R, val, id);
	update(lr, l, mid, L, mid, val, id);
	update(rr, mid + 1, r, mid + 1, R, val, id);
}

LL query(int node, int l, int r, int L, int R, int id){
	if(L <= l && r <= R) return (1ll * id * tr[node] + sum[node]) % mod;
	LL ans = 1ll * (point[node] * id % mod + pointid[node]) * (R - L + 1) % mod;
	if(R <= mid) ans += query(lr, l, mid, L, R, id);
	else if(L > mid) ans += query(rr, mid + 1, r, L, R, id);
	else return ans += query(lr, l, mid, L, mid, id) + query(rr, mid + 1, r, mid + 1, R, id);
	return ans % mod;
}

#undef lr
#undef rr
#undef mid

void solve(){
	topa = topi = 0;
	For(i, 1, n){
		while(topa && a[stmax[topa]] <= a[i]){
			update(1, 1, n, stmax[topa - 1] + 1, stmax[topa], mod - a[stmax[topa]], i);
			--topa;
		}
		while(topi && a[stmin[topi]] >= a[i]){
			update(1, 1, n, stmin[topi - 1] + 1, stmin[topi], mod - a[stmin[topi]], i);
			--topi;
		}
		/*
		printf("stmax: ");
		For(j,1,topa) printf("%d ", stmax[j]);
		puts("");
		printf("stmin: ");
		For(j,1,topi) printf("%d ", stmin[j]);
		puts("");
		*/
		update(1, 1, n, stmax[topa] + 1, i, a[i], i);
		stmax[++topa] = i;
		update(1, 1, n, stmin[topi] + 1, i, a[i], i);
		stmin[++topi] = i;
		for(auto u: G[i]){
			int l = u.first, r = i, id = u.second;
			ans[id] = query(1, 1, n, l, r, i + 1) % mod;
			//printf("ans: %lld\n",ans[id]);
			ans[id] = ((mod + 1) >> 1ll) * ans[id] % mod * qpow(1ll * (r - l + 1) * (r - l + 2) / 2 % mod) % mod;
		}
	}
}

int main(){
#ifndef ONLINE_JUDGE
	freopen("in.txt", "r", stdin);
	freopen("out.txt", "w", stdout);
#endif
	int _;
	scanf("%d", &_);
	while(_--){
		scanf("%d%d", &n ,&m);
		For(i, 1, n) scanf("%d", &a[i]);
		For(i, 1, n) G[i].clear();
		For(i, 1, n << 2) sum[i] = tr[i] = point[i] = pointid[i] = 0;
		For(i, 1, m){
			int x, y;
			scanf("%d%d", &x, &y);
			G[y].push_back(mk(x, i));
		}
		solve();
		For(i, 1, m) printf("%lld\n", ans[i]);
	}
	return 0;
}