再谈后缀自动机

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为什么叫再谈后缀自动机呢?
因为以前学过一次，但是没有太学懂。
愈发觉得学懂一个算法比草率学很多算法更有用了。

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1.学习链接

Menci的SAM
某大佬的SAM
自己以前的博客
Oiwiki

2.个人理解

在SAM中，需要了解的事情：
SAM中有一个有向无环单词图以及一个后缀树，每个节点都同时存在于这两个结构中。

节点$u$：从起点开始到$u$走过的路径组成的字符串（母串的子串）的集合。每个子串都是以$u$结尾的前缀的一组连续长度后缀，即$minlen(u)$到$maxlen[u]$这段长度的子串。并且，这些子串的$endpos$集合相同。

$endpos(u)$：$u$节点代表子串出现的末尾位置的集合

$trans[u][c]$：表示的是$u$代表的子串后面接$c$转移到的节点

$maxlen[u]$：代表$u$节点的长度最大子串的长度

$link[u]$：后缀链接代表了$link[u]$是$u$的后缀，但是$endpos(link[u])$会有所增加，且满足条件：$maxlen[link[u]]+1=minlen(u)$，如果从$u$一直跳$link$到初始节点，就表示了$u$最长串的所有后缀。

有向无环单词图：$trans$
后缀树：$link$进行反向后，构成的树

实际上在SAM中存放的数据：$maxlen[],trans[][],link[]$

$endpos()$集合大小的表示：
考虑增量法，最开始$endpos()$的大小为1，每次增加一个字符，需要新增一个节点表示最长的那个后缀（自己本身），然后对于其他后缀，采取$endpos$相同的就合并过去的操作，建立$link$连接，那么对于每个点而言（除了建SAM的第三种情况新拆的点），有多少个点跳$link$能到$u$，那么它的$endpos$的大小就是多少。

3.具体操作及实现细节

hihocoder1449

一句话题意：求长度为k的出现最多的子串的出现次数

其实就是求$endpos$的大小

这里的$val$最初赋值为1，然后进行拓扑排序。
但是考虑每个点，会对从$u$到起始节点的路径上的所有点都有1的贡献，而那个贡献长度的区间是$min$到$max$，这样还是$O(n^2)$的复杂度。考虑用$maxlen$来表示整个区间（答案具有单调性，短的个数一定不会比长的个数少），进行拓扑排序。

这里的拓扑排序，可以用基数排序来实现，因为节点的父子关系体现在$maxlen$上面就是$maxlen$的单调性，对$maxlen$排序然后操作就可以了。（用到了$SA$的一些思想）

对于多模式串，也可以用$SA$的思想进行建SAM。

#include<cstdio>
#include<iostream>
#include<cstring>
#define For(aa, bb, cc) for(int aa = (bb); aa <= (int)(cc); ++aa)
#define Forr(aa, bb, cc) for(int aa = (bb); aa >= (int)(cc); --aa)
#define Cpy(aa, bb) memcpy(aa, bb, sizeof bb)
using namespace std;
const int maxn = 1e6 + 10;
int len;
char s[maxn];
int val[maxn << 1];
int num[maxn << 1], id[maxn << 1], cnt[maxn << 1], ans[maxn];

//sam

int maxlen[maxn << 1];
int trans[maxn << 1][26];
int link[maxn << 1];
int lst, tot;

void init(){
	lst = tot = 1;
}

void extend(int c){
	int now = ++tot, p;
	val[now] = 1;
	maxlen[now] = maxlen[lst] + 1;
	for(p = lst; p && !trans[p][c]; p = link[p]) trans[p][c] = now;
	if(!p) link[now] = 1;
	else{
		int q = trans[p][c];
		if(maxlen[q] == maxlen[p] + 1) link[now] = q;
		else{
			int sp = ++tot;
			maxlen[sp] = maxlen[p] + 1;
			Cpy(trans[sp], trans[q]);
			link[sp] = link[q];
			for(; p && trans[p][c] == q; p = link[p]) trans[p][c] = sp;
			link[q] = link[now] = sp;
		}
	}
	lst = now;
}

void topsort(){
	For(i, 1, tot) ++num[maxlen[i]];
	For(i, 1, len) num[i] += num[i - 1];
	For(i, 1, tot) id[num[maxlen[i]]--] = i;
	Forr(i, tot, 1) val[link[id[i]]] += val[id[i]];
}

int main(){
#ifndef ONLINE_JUDGE
	freopen("in.txt", "r", stdin);
	freopen("out.txt", "w", stdout);
#endif
	ios::sync_with_stdio(false);
	cin.tie(NULL);
	init();
	cin >> (s + 1);
	len = strlen(s + 1);
	For(i, 1, len) extend(s[i] - 'a');
	topsort();
	For(i, 1, tot) ans[maxlen[i]] = max(ans[maxlen[i]], val[i]);
	Forr(i, len - 1, 1) ans[i] = max(ans[i], ans[i + 1]);
	For(i, 1, len) printf("%d\n", ans[i]);
	return 0;
}

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UDP：2021.8.4
在hdu多校第四场里面碰到了一道SAM可做的题：
第四场4–Display Substring
题意：给你个字符串，以及26个字母每个字母权值，一个子串的权值为淄川中每个字符的权值和。求第k大的子串($n<=1e5$ && $k<=1e12$)

个人思考：
当时初看这道题的时候，觉得可以和以前做过的一道题联系起来–求字典序第k大（在以前的博客里面有）。然后想采用权值排序后的序为其新的序，再采用那道题的做法。但是这里带来了一个问题，字典序的题目的序是越靠前的优先级越高，也就是先选小再选大的（如1+5）是比先选大的再选小的（如2 +3）小。而这道题里面序只与权值大小相关，与顺序无关。

考虑怎么去解决这个问题。首先直接判断每个子串的大小然后进行排序，这样直接做的复杂度是不可接受的。不妨换个思路，先二分答案，然后再判断有多少个子串的权值在这个范围内。接着来考虑如何解决这个问题：

首先明确一点，对一个字符串$S[1...i]$的后缀，后缀长度越短，权值就会越小。而要考虑到所有的子串，只需要对每个点$i\in [1,n]$，考虑以$i$为结尾位置的子串，即$S[1...i]$的后缀，计算小于等于二分所得答案的后缀有多少个。

但是，这里又引入了一个新的问题，如何区分不同的子串？

SAM提供了一个做法：在OIWiki中的额外信息那里，提到了终点的概念–$S[1...i]$对应的SAM中的点，可以认为在插入$S[i]$时，新建的那个节点$p$就是一个终点，$pos[p]=i$，并有以下性质：

(这个性质只是帮助理解下面我们为什么会这么操作）

在link连接形成的树中（即反过来的suffix tree） ，每个节点的终点集合等于其子树内所有终点节点对应的终点的集合。

在此基础上可以给每个节点 $p$ 赋予一个最长字符串，是其终点集合中任意一个终点开始往前取 $maxlen[p]$ 个字符得到的字符串。每个这样的字符串都一样，且 $maxlen[p]$ 恰好是满足这个条件的最大值。

（下面的终点不是上面的终点集合，而是终点的定义）
我们考虑SAM中的每个节点都代表了一段连续的后缀子串，且所有点不重复的代表了所有的子串。对每个点而言，这段子串都是这个节点所代表的的最长子串的后缀，长度区间为$[maxlen[link[p]]+1,maxlen[p]]$，我们只要知道这个最长的字符串是哪一个，通过二分就可以得到这个点所代表的有多少个是符合要求的。要得到这个字符串代表什么，可以通过终点来得到。由上面的性质可以知道，终点一定代表自己的前缀这个当前最长的字符串。从终点开始沿$link$边跳跃时，可以得到每个非终点最长的字符串即为终点的长为$maxlen[u]$的后缀，这样就可以得到所有的子串中有多少个是符合要求的。且由上面性质可以知道，只要能跳到当前点，任意非终点的长为maxlen的后缀都是该字符串。这样就解决了这道题。

$O(nlo{g}_2^2{n}^{)}$

#include<bits/stdc++.h>
#define For(aa, bb, cc) for(int aa = (bb); aa <= (int)(cc); ++aa)
#define Forr(aa, bb, cc) for(int aa = (bb); aa >= (int)(cc); --aa)
#define Cpy(aa, bb) memcpy(aa, bb, sizeof bb);
using namespace std;
typedef long long LL;
const int maxn = 1e5 + 10;
int n;
LL k;
char s[maxn];
int val[30];

template<int N, int sigma> struct Suffix_Automation{
	int maxlen[N << 1], trans[N << 1][sigma],link[N << 1], lst, tot;
	int sum[N], pos[N << 1]; //pos: terminal point
	int num[N], id[N << 1], f[N << 1]; //id:toposort seq; f:endpos size
	bool is_clone[N << 1]; //clone point
	vector<int> ch[N << 1];

	void init(int Size){
		tot = lst = 1;
		link[1] = 0;
		memset(trans, 0, (Size * 2 + 5) * sigma * sizeof (int));
		memset(pos, 0, (Size * 2 + 5) * sizeof (int));
		For(i, 1, Size * 2 + 5) ch[i].clear();
	}

	void extend(int c){
		int now = ++tot, p = lst;
		f[now] = 1; //endpos Size
		maxlen[now] = maxlen[p] + 1;
		for(; p && !trans[p][c]; p = link[p]) trans[p][c] = now;
		if(!p) link[now] = 1;
		else{
			int q = trans[p][c];
			if(maxlen[q] == maxlen[p] + 1) link[now] = q;
			else{
				int nq = ++tot;
				is_clone[nq] = 1; //clone point
				maxlen[nq] = maxlen[p] + 1;
				pos[nq] = q;
				memcpy(trans[nq], trans[q], sigma * sizeof (int));
				link[nq] = link[q];
				for(; p && trans[p][c] == q; p = link[p]) trans[p][c] = nq;
				link[q] = link[now] = nq;
			}
		}
		lst = now;
	}

	void toposort(){
		For(i, 1, tot) ++num[maxlen[i]];
		For(i, 1, n) num[i] += num[i - 1];
		For(i, 1, tot) id[num[maxlen[i]]--] = i;
		Forr(i, tot, 1) f[link[id[i]]] += f[id[i]];
	}

	void prepare(){
		For(i, 1, n){
			extend(s[i] - 'a');
			sum[i] = sum[i - 1] + val[s[i] - 'a'];
			pos[lst] = i;
		}
	}

	bool check(int x){
		LL cnt = 0;
		For(i, 1, tot){
			int P = pos[i];
			int L = P - maxlen[i] + 1, R = P - maxlen[link[i]];
			while(L < R){
				int mid = (L + R) >> 1;
				if(sum[P] - sum[mid - 1] <= x) R = mid;
				else L = mid + 1;
			}
			if(sum[P] - sum[L - 1] <= x) cnt += P - maxlen[link[i]] - L + 1;
		}
		return cnt >= k;
	}
};

Suffix_Automation<maxn, 26> sam;

int main(){
#ifndef ONLINE_JUDGE
	freopen("in.txt", "r", stdin);
	freopen("out.txt", "w", stdout);
#endif
	int _;
	scanf("%d", &_);
	while(_--){
		scanf("%d%lld", &n ,&k);
		scanf("%s", s + 1);
		For(i, 0, 25) scanf("%d", &val[i]);
		sam.init(n);
		sam.prepare();
		int L = 1, R = sam.sum[n];
		while(L < R){
			int mid = (L + R) >> 1;
			if(sam.check(mid)) R = mid;
			else L = mid + 1;
		}
		if(sam.check(L)) printf("%d\n", L);
		else puts("-1");
	}
	return 0;
}