关于dp斜率优化的一些感悟

学习链接

感悟：
dp的斜率优化的基础用法是在1D1D型的dp上，如HNOI2008玩具装箱，这里是$$dp[i]=\min dp[j]+(s[i]-s[j]-L{)}^2$$

这里假设一个$j_1<j_2$且满足$j_1$的答案没有$j_2$的优，那么可以推得一个斜率dp的公式：

这里我们可以将$Y(j)=dp[j]+(S[j]+L{)}^2$，$X(j)=S[j])$。
于是就可以得到一个斜率的式子$$Y(j_2)-Y(j_1)/X(j_2)-X(j_1)$$
这里可以用一个队列来维护，得到一个类似的凸包的图形。
对$j_1<j_2<j_3$，像维护凸包一样，当$slope(j_1,j_2)>slope(j_1,j_3)$可以将$j_2$删除掉。
（这个需要满足单调性原理，可以看博客中的tournament那道题）
然后用二分的办法找到临界点$p$，满足$i<p$都是满足$2\ast s[i]>=slope(i-1,i)$，$i>p$都是$2\ast s[i]<slope(i,i+1)$，这样$p$就是当前的最优解；
而这道题满足一个性质–四边形不等式；
当$dp[i]=dp[j]+w(i,j)$时，对$w(i,j)$如果满足$w(i,j)+w(i+1,j+1)<=w(i+1,j)+w(i,j+1)$，那么最优解对应的点就会是单调增加的，即决策单调性；
这样就可以只维护凸包的$i>p$部分，前面可以直接排除掉，用个队列就可以$O(n)$解决问题。