汉诺塔问题描述
- 问题：有三根柱子（A、B、C）和若干个不同大小的盘子，最初所有盘子都在柱子 A 上，按大小顺序从上到下排列。目标是将所有盘子移动到柱子 C 上，遵循以下规则：
- 每次只能移动一个盘子。
- 不能将较大的盘子放在较小的盘子上。
- 需要使用辅助柱子 B。
递归解决方案
汉诺塔问题的解决方案可以通过递归来实现，具体步骤如下：
- 基本情况：如果只有一个盘子，直接将其从源柱子 A 移动到目标柱子 C。
- 递归步骤：
- 将上面的 n−1个盘子从 A 移动到辅助柱子 B（使用 C 作为辅助）。
- 将第 n个盘子直接从 A 移动到 C。
- 将 n−1个盘子从 B 移动到 C（使用 A 作为辅助）。
#define _CRT_SECURE_NO_WARNINGS
#include <stdio.h>
// 汉诺塔递归函数
void hanoi(int n, char A, char B, char C)
{
if (n == 1)
{
printf("将盘子 1 从 %c 移动到 %c\n", A, C);
return;
}
// 将 n-1 个盘子从 A 移动到 B，使用 C 作为辅助
hanoi(n - 1, A, C, B);
// 将第 n 个盘子从 A 移动到 C
printf("将盘子 %d 从 %c 移动到 %c\n", n, A, C);
// 将 n-1 个盘子从 B 移动到 C，使用 A 作为辅助
hanoi(n - 1, B, A, C);
}
int main()
{
int n;
printf("请输入盘子个数：");
scanf("%d", &n);
// 从 A 移动到 C，使用 B 作为辅助
hanoi(n, 'A', 'B', 'C');
return 0;
}调用过程示例
假设我们有 3 个盘子，调用 hanoi(3, 'A', 'B', 'C')。
hanoi(3, A, B, C)
├── hanoi(2, A, C, B)
│ ├── hanoi(1, A, B, C)
│ │ └── 打印: 将盘子 1 从 A 移动到 C
│ ├── 打印: 将盘子 2 从 A 移动到 B
│ └── hanoi(1, C, A, B)
│ └── 打印: 将盘子 1 从 C 移动到 B
├── 打印: 将盘子 3 从 A 移动到 C
└── hanoi(2, B, A, C)
├── hanoi(1, B, C, A)
│ └── 打印: 将盘子 1 从 B 移动到 A
├── 打印: 将盘子 2 从 B 移动到 C
└── hanoi(1, A, B, C)
└── 打印: 将盘子 1 从 A 移动到 C输出：
请输入盘子个数：3
将盘子 1 从 A 移动到 C
将盘子 2 从 A 移动到 B
将盘子 1 从 C 移动到 B
将盘子 3 从 A 移动到 C
将盘子 1 从 B 移动到 A
将盘子 2 从 B 移动到 C
将盘子 1 从 A 移动到 C非递归解决方案
虽然递归是直观的，但在某些情况下，非递归解决方案可能更高效。
对于 n个盘子的汉诺塔问题，移动盘子最少次数为 2^n−1。
汉诺塔移动的基本规则
在汉诺塔中，盘子只能一个一个地移动，且较大的盘子不能放在较小的盘子上。
- 目标：将所有盘子从源柱子（A）移动到目标柱子（C），使用辅助柱子（B）。
- 移动的奇偶性：移动的顺序依赖于盘子的数量 n 的奇偶性。
-
偶数盘子：当盘子的数量为偶数时，交换辅助柱子 B 和目标柱子 C 是必要的。这是因为在偶数情况下，最后一个盘子的移动需要在辅助柱子和目标柱子之间进行调整。
-
奇数盘子：当盘子的数量为奇数时，移动的顺序则是直接按照汉诺塔的标准规则进行，不需要交换柱子。在这种情况下，移动的顺序会自然按照规则完成，确保每个盘子都能正确地从源柱子 A 移动到目标柱子 C，而无需进行柱子的交换。
如果盘子数量为偶数，交换辅助柱子 B 和目标柱子 C，以确保移动顺序正确。
在汉诺塔问题中，有三个柱子（A、B、C），需要将盘子从源柱子移动到目标柱子。非递归的实现中，可以通过循环来控制移动的顺序。这里的关键在于使用 % 运算符来决定每一步的移动。
代码解析
// 确定源柱子与目标柱子
if (i % 3 == 1)
{
from = A; to = C; // 第一步：A → C
}
else if (i % 3 == 2)
{
from = A; to = B; // 第二步：A → B
}
else
{
from = B; to = C; // 第三步：B → C
}
这里第三步看着像错误的，其实不是，因为只是赋值并没移动，后面这是在栈保证大小顺序的情况下才进行移动的。
逻辑解释
-
i的角色：i是当前的移动步骤，从 1 到 2^n−1。- 每一个步骤代表着一个盘子的移动。
-
i % 3的使用：- 使用
%运算符是为了实现循环和定期的移动模式。结果可能是 0、1 或 2。
- 使用
-
具体移动：
i % 3 == 1：- 当
i能被 3 取余为 1 时，这表示是第一个移动。 - 将盘子从柱子 A 移动到柱子 C。
- 这是因为在第 1 步，最小的盘子应该从源柱子直接移动到目标柱子。
- 当
i % 3 == 2：- 当
i能被 3 取余为 2 时，表示是第二个移动。 - 将盘子从柱子 A 移动到柱子 B。
- 这通常是将一个较大的盘子暂时放到辅助柱子，以便后续的移动操作。
- 当
i % 3 == 0：- 当
i能被 3 取余为 0 时，表示是第三个移动。 - 将盘子从柱子 B 移动到柱子 C。
- 这一步通常是将之前放在辅助柱子上的盘子移动到目标柱子。
- 当
#define _CRT_SECURE_NO_WARNINGS
#include <stdio.h>
// 模拟栈结构
typedef struct
{
int data[64]; // 最多支持64个盘子
int top; // 栈顶指针
} Stack;
// 初始化栈
void initStack(Stack* s)
{
s->top = -1; // 栈顶指针初始化为-1，表示栈为空
}
// 入栈操作
void push(Stack* s, int x)
{
s->data[++s->top] = x; // 将元素x压入栈中，并更新栈顶指针
}
// 出栈操作
int pop(Stack* s)
{
return s->data[s->top--]; // 返回栈顶元素，并更新栈顶指针
}
// 判断栈是否为空
int isEmpty(Stack* s)
{
return s->top == -1; // 如果栈顶指针为-1，表示栈为空
}
// 获取栈顶元素
int getTop(Stack* s)
{
return s->data[s->top]; // 返回栈顶元素
}
// 汉诺塔非递归实现
void hanoi_iterative(int n, char A, char B, char C)
{
Stack a, b, c; // 定义三个栈，分别表示柱子A、B、C
initStack(&a); // 初始化栈A
initStack(&b); // 初始化栈B
initStack(&c); // 初始化栈C
// 初始化A柱子上的盘子，从大到小压入栈中
for (int i = n; i >= 1; i--)
{
push(&a, i);
}
int total_moves = (1 << n) - 1; // 计算总移动次数，2^n - 1
// 如果盘子数量为偶数，交换B和C柱子
if (n % 2 == 0)
{
char temp = B; // 临时变量存储B
B = C; // B赋值为C
C = temp; // C赋值为B
}
// 遍历所有移动操作
for (int i = 1; i <= total_moves; i++)
{
char from, to;
// 确定源柱子与目标柱子
if (i % 3 == 1)
{
from = A; to = C; // 第一步：A → C
}
else if (i % 3 == 2)
{
from = A; to = B; // 第二步：A → B
}
else
{
from = B; to = C; // 第三步：B → C
}
// 确定对应的栈
Stack* fromStack, * toStack;
if (from == A) fromStack = &a; // 根据源柱子选择栈
else if (from == B) fromStack = &b;
else fromStack = &c;
if (to == A) toStack = &a; // 根据目标柱子选择栈
else if (to == B) toStack = &b;
else toStack = &c;
// 确保从小盘子移动到大盘子
if (!isEmpty(fromStack) && (isEmpty(toStack) || getTop(fromStack) < getTop(toStack)))
{
// 从源柱子移动到目标柱子
int disk = pop(fromStack); // 从源栈中弹出盘子
push(toStack, disk); // 将盘子压入目标栈
printf("将盘子%d从 %c 移动到 %c\n", disk, from, to);
}
else
{
// 如果目标柱子有盘子，反向移动
int disk = pop(toStack); // 从目标栈中弹出盘子
push(fromStack, disk); // 将盘子压入源栈
printf("将盘子%d从 %c 移动到 %c\n", disk, to, from);
}
}
}
int main()
{
int n;
printf("请输入盘子个数：");
scanf("%d", &n); // 用户输入盘子数量
hanoi_iterative(n, 'A', 'B', 'C'); // 调用非递归汉诺塔函数
return 0; // 返回0，表示程序成功结束
}输出：
请输入盘子个数：3
将盘子1从 A 移动到 C
将盘子2从 A 移动到 B
将盘子1从 C 移动到 B
将盘子3从 A 移动到 C
将盘子1从 B 移动到 A
将盘子2从 B 移动到 C
将盘子1从 A 移动到 C跟上面递归的输出一样
总结：
递归实现：
特点
- 简洁性：代码简洁易读，直接表达了问题的递归性质。
- 直观：递归调用自然地描述了移动过程。
优点
- 逻辑清晰，易于理解和实现。
- 适合较小规模的盘子。
缺点
- 对于较大的盘子，递归深度可能导致栈溢出。
- 空间复杂度较高，主要是由于函数调用栈。
非递归实现
特点
- 使用栈：通过栈模拟柱子的行为，实现非递归的移动。
- 循环控制：使用循环而非递归，避免了栈溢出的问题。
优点
- 能处理更大规模的盘子，避免了递归深度限制。
- 空间复杂度更低。
缺点
- 代码相对复杂，需要手动管理栈的状态。
- 理解上可能不如递归直观。
汉诺塔问题的时间复杂度
汉诺塔问题的时间复杂度是 指数级 的，具体为 O(2^n)，这意味着随着盘子数量 n 的增加，所需的时间将指数级增加。这也是为什么在实际应用中，处理较大数量的盘子（如 64 个盘子）是不可行的。
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