bzoj4518 征途

最新推荐文章于 2019-08-10 09:30:59 发布

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二分

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题意

Pine开始了从S地到T地的征途。
从S地到T地的路可以划分成n段，相邻两段路的分界点设有休息站。
Pine计划用m天到达T地。除第m天外，每一天晚上Pine都必须在休息站过夜。所以，一段路必须在同一天中走完。
Pine希望每一天走的路长度尽可能相近，所以他希望每一天走的路的长度的方差尽可能小。
帮助Pine求出最小方差是多少。
设方差是v，可以证明， $v×m^2$ 是一个整数。为了避免精度误差，输出结果时输出 $v×m^2$ 。

题解

此题有斜率优化做法
但是这篇blog是想介绍带权二分
首先推推式子
设xi为第i天走的步数,
那么显然有 $∑i=1mxi=mx‾=S\sum_{i=1}^mx_i=m\overline x=S$
$v=∑i=1m(xi−x‾)2m=∑i=1m(xi2−2x‾xi+x‾2)m=∑i=1mxi2−∑i=1m2x‾xi+∑i=1mx‾2m=∑i=1mxi2−mx‾2mv=\frac{\sum_{i=1}^m(x_i-\overline{x})^2}{m}=\frac{\sum_{i=1}^m(x_i^2-2\overline{x}x_i+\overline{x}^2)}{m}=\frac{\sum_{i=1}^mx_i^2-\sum_{i=1}^m2\overline{x}x_i+\sum_{i=1}^m\overline{x}^2}{m}=\frac{\sum_{i=1}^mx_i^2-m\overline x^2}{m}$
然后 $v⋅m2=m∑i=1mxi2−(mx‾)2=m∑i=1mxi2−S2v\cdot m^2=m\sum_{i=1}^mx_i^2-(m\overline x)^2=m\sum_{i=1}^mx_i^2-S^2$
这个式子只与 $∑i=1mxi2\sum_{i=1}^mx_i^2$ 有关
那么我们就把问题转换成了：有n个数，你要把他们分成连续的m段，求最小的平方和
那么可有dp(i,j)表示前i个数，恰好分成j段
$dp(i,j)=min(dp(k,j-1)+(S[i]-S[k])^2)$
显然会T
于是对于这种限制恰好个数的，我们就可以上今天的主角带权二分了
首先显然可以发现的一点是随着j的增大，dp(n,j)是一个下凸的曲线 （怎么证?咕咕咕…）

感性的想（理性的请转步论文），我们可以给每次增加段数的时候加上一个额外代价（或者额外收益），进而控制达到最大值时的段数
然后我们可以通过二分来调控这个额外值
最后再减去即可

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
using namespace std;
typedef long long ll;
const int N=3005;
const int INF=0x3f3f3f3f;
int x[N];
int s[N];
int n,m;
int X;
ll d[N];
int f[N];
bool check(){
    memset(d,0x3f,sizeof d);
    d[0]=f[0]=0;
    for(int i=1;i<=n;i++)
        for(int j=0;j<i;j++){
            if(d[i]>d[j]+1ll*(s[i]-s[j])*(s[i]-s[j])+X){
                d[i]=d[j]+1ll*(s[i]-s[j])*(s[i]-s[j])+X;
                f[i]=f[j]+1;
            }
            else if(d[i]==d[j]+1ll*(s[i]-s[j])*(s[i]-s[j])+X&&f[i]<f[j]+1){
                f[i]=f[j]+1;
            }
        }
    return f[n]>=m;
}
int main()
{
    scanf("%d%d",&n,&m);
    for(int i=1;i<=n;i++)
        scanf("%d",&x[i]);
    for(int i=1;i<=n;i++)
        s[i]=s[i-1]+x[i];
    int l=-INF,r=INF;
    int ansX;
    while(l<=r){
        X=(l+r)>>1;
        if(check()){
            ansX=X;
            l=X+1;
        }
        else{
            r=X-1;
        }
    }
    X=ansX;
    check();
    ll ans=(d[n]-m*X)*m-1ll*s[n]*s[n];
    printf("%lld\n",ans);
}