（HDU）5833 - Zhu and 772002 【高斯消元】

Zhu and 772002

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Problem Description

Zhu and 772002 are both good at math. One day, Zhu wants to test the ability of 772002, so he asks 772002 to solve a math problem. 

But 772002 has a appointment with his girl friend. So 772002 gives this problem to you.

There are n numbers a1,a2,...,an. The value of the prime factors of each number does not exceed 2000, you can choose at least one number and multiply them, then you can get a number b.

How many different ways of choices can make b is a perfect square number. The answer maybe too large, so you should output the answer modulo by 1000000007.

 

Input

First line is a positive integer T , represents there are T test cases.

For each test case:

First line includes a number n(1≤n≤300)，next line there are n numbers a1,a2,...,an,(1≤ai≤1018).

 

Output

For the i-th test case , first output Case #i: in a single line.

Then output the answer of i-th test case modulo by 1000000007.

 

Sample Input

2
3
3 3 4
3
2 2 2

 

Sample Output

Case #1:
3
Case #2:
3

 

Author

UESTC

题意：给你n个数字，它们的质因数不超过2000，问从n个数中至少选取1个数,它们的乘积是完全平方数的情况有多少种,结果对1000000007取模。

思路：

训练指南原题改编，P160。下为书上讲解：

“不含大于2000的素因子”提示我们考虑每个数的唯一分解式，用01向量表示—个数， 再用n个01变量xi来表示我们的选择，其中xi=1表示要选第i个数，xi=0表示不选它，则可对每个素数的幂列出一个模2的方程。 
这话听起来比较抽象，让我们分析一下题目中的例子。4个整数4,6,10,15的素因子只 有2, 3, 5这3种，首先把这些整数写成01向量的的形式，即4=22∗30∗50,即(2,0,0)；6=21∗31∗50,即(1,1,0)；10=21∗30∗51,即(1,0,1)；15=20∗31∗51,即(0,1,1)。 
选出来的数乘积为22x1+x2+x3∗3x2+x4∗5x3+x4。如果要让这个数是完全平方数，每个幂都应该是偶数，即

⎧⎩⎨⎪⎪x2+x3≡0(mod2)x2+x4≡0(mod2)x3+x3≡0(mod2)

注意，这也是一个线性方程组，只是代数系统变成了Z2（模2的剩余系）。可是第一 个方程里的2x1不见了。这是因为2x1总是偶数，所以没必要写在方程里。同理，3x1会变成x1，任意变量的系数非0即1。还可以把这个方程组看成是如下xor方程组

⎧⎩⎨⎪⎪x2xorx3≡0x2xorx4≡0x3xorx3≡0

需要求解方程组解的组数。可以求秩，即求到自由变元的个数。xor方程组是很好消元的，因为不需要做乘法和除法，只需要做xor;每次也不需要找 绝对值最大的系数(每个系数不是0就是1)，任意一个系数为1即可实现消元。 
最后，假设自由变量有f个，则线性方程组的解共有2f个，因为每个自由变量可以取0和1。比如，刚才的方程组对应的增广矩阵消元后为 

⎡⎣⎢0001101010|01|01|0⎤⎦⎥⇒⎡⎣⎢0001001100|01|00|0⎤⎦⎥

有两个自由变量x1和x4，有两个有界变量x2和x3，因此—共有22=4种选法。注意，本题不允许一个整数都不选，因此最终答案需要减1。

换句话说，我们需要做的就是对给的数做素数分解，因为素数大小不超过2000，2000以内素数有303个，所以开个二维数组，记录每个题给数的素数因子个数，个数偶数记为0，奇数记为1(素数分解时不断异或1就行了)。得到二维数组实际就是系数矩阵。求矩阵的秩就可以。高斯消元的模板。

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <algorithm>
#include <cstdlib>
#include <cstring>
#include <cmath>
#include <vector>
#include <queue>
#include <stack>
#include <iomanip>
#include <string>

using namespace std;
const int MAXN=305;
const int oo=1000000007;
typedef int Matrix[2107][2107];
typedef long long LL;
Matrix A;
int ra_nk(int m,int n)//A是异或方程组系数矩阵 返回秩
{
    int i=0,j=0,k,r,u;
    while(i<m&&j<n)
    {
        r=i;
        for(int k=i;k<m;k++)
        {
            if(A[k][j]) { r=k;break; }
        }
        if(A[r][j])
        {
            if(r!=i) for(k=0;k<=n;k++) swap(A[r][k],A[i][k]);
            //消元后第i行的第一个非0列是第j列，且第u>i行的第j列均为0
            for(u=i+1;u<m;u++) if(A[u][j])
                for(k=i;k<=n;k++) A[u][k]^=A[i][k];
            i++;
        }
        j++;
    }
    return i;
}
int vis[2107];
int prime[2107];
int gen_primes(int m)
{
    memset(vis,0,sizeof(vis));
    int cnt=0;
    for(int i=2; i < m; i++)
    {
        if(!vis[i])
        {
            prime[cnt++]=i;
            for(int j=i*i; j<m; j+=i)
                vis[j]=1;
        }
    }
    return cnt;
}

LL powmod(LL a,LL n)
{
    LL mod=1e9+7;
    LL res=1;
    while(n){
        if(n&1) res=res*a%mod;
        a=a*a%mod;
        n>>=1;
    }
    return res;
}
int main()
{
    int prime_n=gen_primes(2107);
    int T;
    scanf("%d",&T);
    for(int t=1;t<=T;t++)
    {
        memset(A,0,sizeof(A));
        int n;
        scanf("%d",&n);
        int maxp=0;
        for(int i=0;i<n;i++)
        {
            LL x;
            scanf("%lld",&x);
            for(int j=0;j<prime_n;j++)
            {
                while(x%prime[j]==0)
                {
                    maxp=max(maxp,j);
                    x/=prime[j];
                    A[j][i]^=1;
                }
            }
        }
        int r=ra_nk(maxp+1,n);
        printf("Case #%d:\n",t);
        printf("%lld\n",powmod(2,(LL)n-r)-1);
    }
}

转载的一个解释：

首先,我们知道的是,完全平方数的各种质因子必定出现偶数次

不然不可能被开方

例如36=2*2*3*3

质因子2,3均出现两次

所以呢,此题已经可以转化为类似开关问题的高斯消元了

这里,,表示第i个数取或不取

,表示质因子出现偶数次

,表示(第j个数分解质因数后,2000以内第i个质数出现多少次,奇数次值为1,偶数次值为2)

剩下的就是套一下高斯消元的模板,求解出自由变元的个数ans,那此题的结果就是,这个快速幂求解一下就可以了

如果还是不明白的话,我们来举例说明

就比如样例3,3,4

方程变元x前的系数k为我们打素数表2,3,5,……,1999中第k个质数出现奇数次还是偶数次

那该样例可得方程组为

第一条方程是质数2的贡献,因为3是不包含质因子2的,故贡献为0,而4虽包含质因子2,但出现了偶数次,故贡献同样为0

第二条方程,两个3都贡献了1,而4不包含质因子3,所以无贡献

显然,方程组只有一条方程,但有3个未知数,所以自由变元有2个,而自由变元的取值为{0,1}

故方程组的解有2^2=4种,除去全为0的一种(因为题目指明至少取一个数),剩3种(1,1,0),(0,0,1),(1,1,1)

#include<stdio.h>  
#include<string.h>  
#include<stdlib.h>  
#include<queue>  
#include<stack>  
#include<math.h>  
#include<vector>  
#include<map>  
#include<set>  
#include<cmath>  
#include<complex>  
#include<string>  
#include<algorithm>  
#include<iostream>  
#define eps 1e-9  
#define LL long long  
#define bitnum(a) __builtin_popcount(a)  
using namespace std;  
const int N = 305;  
const int M = 2001;  
const int inf = 1000000007;  
const int mod = 1000000007;  
int prime[M],k;  
bool v[M];  
//有equ个方程，var个变元。增广矩阵行数为equ,列数为var+1,分别为0到var  
int equ,var;  
int a[N][N]; //增广矩阵  
int x[N]; //解集  
int free_x[N];//用来存储自由变元（多解枚举自由变元可以使用）  
int free_num;//自由变元的个数  
void get_prime()  
{  
    k=0;  
    for(int i=2;i<M;i++)  
        if(!v[i])  
        {  
            prime[k++]=i;  
            for(int j=i;j<M;j+=i)  
                v[j]=true;  
        }  
}  
__int64 Quick_Mod(int a,int b)//快速幂  
{  
    __int64 res = 1,term = a % mod;  
    while(b)  
    {  
        if(b & 1) res = (res * term) % mod;  
        term = (term * term) % mod;  
        b >>= 1;  
    }  
    return res;  
}  
//返回值为-1表示无解，为0是唯一解，否则返回自由变元个数  
int Gauss()  
{  
    int max_r,col,k;  
    free_num = 0;  
    for(k = 0, col = 0 ; k < equ && col < var ; k++, col++)  
    {  
        max_r = k;  
        for(int i = k+1;i < equ;i++)  
        {  
            if(abs(a[i][col]) > abs(a[max_r][col]))  
                max_r = i;  
        }  
        if(a[max_r][col] == 0)  
        {  
            k--;  
            free_x[free_num++] = col;//这个是自由变元  
            continue;  
        }  
        if(max_r != k)  
        {  
            for(int j = col; j < var+1; j++)  
                swap(a[k][j],a[max_r][j]);  
        }  
        for(int i = k+1;i < equ;i++)  
        {  
            if(a[i][col] != 0)  
            {  
                for(int j = col;j < var+1;j++)  
                    a[i][j] ^= a[k][j];  
            }  
        }  
    }  
    for(int i = k;i < equ;i++)  
        if(a[i][col] != 0)  
            return -1;//无解  
    if(k < var) return var-k;//自由变元个数  
    //唯一解，回代  
    for(int i = var-1; i >= 0;i--)  
    {  
        x[i] = a[i][var];  
        for(int j = i+1;j < var;j++)  
            x[i] ^= (a[i][j] && x[j]);  
    }  
    return 0;  
}  
int main()  
{  
    get_prime();  
    int t,i,j,n,p=1,c;  
    __int64 ans,s;  
    scanf("%d",&t);  
    while(t--)  
    {  
        ans=0;  
        memset(a,0,sizeof(a));  
        scanf("%d",&n);  
        equ=k;var=n;  
        for(i=0;i<n;i++)  
        {  
            scanf("%I64d",&s);  
            for(j=0;j<k;j++)  
            {  
                c=0;  
                while(s%prime[j]==0)  
                {  
                    s/=prime[j];  
                    c++;  
                }  
                if(c&1)  
                    a[j][i]=1;  
            }  
        }  
        int r,c;  
        ans=Gauss();  
        printf("Case #%d:\n%I64d\n",p++,Quick_Mod(2,ans)-1);  
    }  
    return 0;  
}