逆元在数论中是一个关键概念，特别是在模运算中。本文介绍了逆元的定义，要求a和m互质，满足ax ≡ 1 (mod m)。求逆元的方法包括费马小定理（适用于素数模）和扩展欧几里得算法。扩展欧几里得算法不仅用于求逆元，还可用于解决ax + by = gcd(a, b)的方程。逆元在除法取模操作中起到重要作用，如在Lucas定理中用于高效计算大组合数取模。"
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逆元
逆元，听起来有点高深（之前学长讲解逆元的时候只给了个公式，然后说对除法取模要用逆元）。
逆元的简单定义
简单来说，逆元的条件需要先满足下面这个式子：
a x ≡ 1 ( m o d m ) ax \equiv 1 \pmod m ax≡1(modm)
其中， gcd ( a , m ) = 1 \gcd(a,m)=1 gcd(a,m)=1，也就是 a a a和 m m m是互质的。这时候， x x x就是 a a a的逆元，可以记为 a − 1 a^{-1} a−1。
（如果你想要更专业的说明的话，请看一本书，叫做《初等数论及其应用》，机械工业出版社（也就是黑皮书）的）
求逆元
求逆元一般有两种方式。一种是利用费马小定理，另一种是使用扩展欧几里得算法。后者适用面更广泛点。
费马小定理
若 p p p是一个素数，且有 gcd ( a , p ) = 1 \gcd(a,p)=1 gcd(a,p)=1，则有：
a p − 1 ≡ 1 ( m o d p ) a^{p-1} \equiv 1 \pmod p ap−1≡1(modp)
这时候把这个式子与逆元的定义式联立起来：
a p − 1 ≡ 1 ( m o d p ) a x ≡ 1 ( m o d m ) a^{p-1} \equiv 1 \pmod p\\ ax \equiv 1 \pmod m a
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