【日志】扩展中国剩余定理

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#算法

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本文介绍了扩展中国剩余定理的概念，通过转化同余方程来解决多个同余方程组的问题。详细解释了求解过程，并提供了Python和C++两种编程语言的代码实现，展示了如何应用扩展欧几里得算法来解决此类问题。

扩展中国剩余定理（P4777 【模板】扩展中国剩余定理）

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~~中国剩余定理被划分为useless算法了~~

不过中国剩余定理能做的，扩展中国剩余定理（应该）都能做到

过程

考虑两个同余方程。

$\equiv a \pmod b\\ x \equiv c \pmod d$

从模的定义上，可以将第一个式子转化为：

$x = b t + a$

之后再将方程带入二式，得：

$\equiv c \pmod d$

改变一下形式，即为：

$\equiv c-a \pmod d$

这个方程很熟悉对吧，那么主要目的就是求出这个 $t$ 。当然可以使用扩展欧几里得算法求得。

$b\frac{c-a}{(b,\ d)}t_0 \equiv c-a \pmod {\frac{d}{(b,\ d)}}$

为了简单起见，记 $t=\cfrac{c-a}{(b,\ d)}t_0 \bmod \cfrac{d}{(b,\ d)}$ 。因此，上面关于 $x$ 的方程转换为同余方程则为：

$\equiv bt+a \pmod {\frac{bd}{(b,\ d)}}$

这样，两个同余方程就合并完成了。当然，因为过程中出现了了对线性同余方程求解，所以只有当 $(b,\ d) \mid d$ 时，才有解，否则无解。

上面是对于两个方程而言，多个方程只需要一个一个合并即可。

代码实现

python代码实现

这是一种可行的python代码实现。（不得不说python写一些数学题真的舒服……但也真的涨血压，同个算法c++过了python就是超时或者爆内存）

def exgcd(a, b):
    if b == 0:
        return a, 1, 0
    d, x, y = exgcd(b, a % b)
    return d, y, x - a // b * y

# 虽然这道题一定有解，但是因为是模板题的原因，判断下有无解
def exCRT(a, b, c, d):
    g, t0, useless = exgcd(b, d)  # g是gcd(b, d)，避免和d重名
    if (c - a) % g != 0:
        return False, -1, -1
    d //= g
    # 可能用判断快一点
    # t = ((c - a) // g * t0 % d + d) % d
    t = (c - a) // g * t0 % d
    if t < 0:
        t += d
    return True, b * t + a, b * d

if __name__ == "__main__":
    ok, a, b = True, 0, 1
    for i in range(input()):
        d, c = map(int, input().split())
        ok, a, b = exCRT(a, b, c, d)
    print(a)

c++代码实现

下面是一种可行的c++代码实现。（为什么python放前面，~~因为第一次写的时候c++爆long long了~~）

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

using ll = long long;

// 个人喜欢这么写，可能有点性能上的差异
tuple<ll, ll, ll> exgcd(ll a, ll b) {
    if (b == 0)
        return {a, 1, 0};
    auto [d, x, y] = exgcd(b, a % b);
    return {d, y, x - a / b * y};
}

// 这里一定要避免爆long long的情况
inline ll mul(ll a, ll b, ll p) {
    return static_cast<__int128_t>(a) * b % p;
}

bool exCRT(ll &a, ll &b, ll c, ll d) {
    auto [g, t0, useless] = exgcd(b, d);
    if ((c - a) % g != 0)
        return false;
    d /= g;
    ll t = mul((c - a) / g, t0, d);
    if (t < 0)
        t += d;
    a = b * t + a;
    b = b * d;
    return true;
}

int main() {
    ios::sync_with_stdio(false);
    cin.tie(nullptr);

    int n;
    cin >> n;
    ll a = 0, b = 1;
    for (int i = 0; i < n; ++ i) {
        ll c, d;
        cin >> d >> c;
        exCRT(a, b, c, d);
    }
    cout << a << '\n';

    return 0;
}