动态规划（JAVA）-最长回文子串

动态规划（JAVA）-最长回文子串

leetcode题目连接

此题与最长回文子序列类似，但是要注意子串，子串不仅要保证顺序，也要保证是连续，不能删除某个元素

解题思路

本题比较典型，所以不使用递归再推导动态规划，通过具体示例以及坐标图就可推导

• 假设当前有字符串Str，角标i与j，子串s = Str(i,j)
• 设想特殊值，两种情况
• • 子串s的中心点为单个字符，如“aba”，以“b”对称，那么在起始位置时，有关系式 i==j；
• • 子串s完全对称，如“aa”，那么有关系式 i==j-1 且 Str(i)==Str(j)；
• 当前以Str=abbcacbbf为例，构建二维数组，此题求子串，而不是子序列的长度，所以二维数组存当前位置的子串是否是回文子串的结果，也就是boolean类型，如图
  
• 接下来要做的就是填充这个二维数组
• 首先根据第一种情况，i==j时，Str(i)或者Str(j)就是回文子串，由上图可知，i==j代表对角线的位置，也就是说，对角线上的值都为true
  
• 接下来考虑第二种情况，i==j-1时，且当Str(i)==Str(j)时，当前子串s=Str(i,j)才是回文子串，i==j-1录入坐标可知，(i=0,j=1),(i=1,j=2),(i=2,j=3)…以此类推，在坐标图上填充
  
• 上图可以看到，填充的是次对角线，特殊情况考虑好之后，该处理基础部分了
• 通过示例“abbcacbbf”可知，如果"bcacb"是回文子串，那么"cac"必定也是回文子串，这句话翻译下，就是如果i=2位置上的字符与j=6上的字符相等时，那么当前的子串依赖于(i=3,j=5)的结果，换成代码段

				if(s.charAt(i)==s.charAt(j)){
                    dp[i][j] = dp[i+1][j-1];
                }else {
                    dp[i][j] = false;
                }

• 从坐标图上可知
  
• 因为我们已经填充了两条对角线，所以对于右上半部分空格子都具备了依赖的数据，现在要确定填充顺序
• 很明显是从上到下，再从左到右，也就是i升序，j升序

		//这里要注意边界，因为之前已经填充了两条对角线，看图比较清晰，j从2开始，到末尾，i从0开始，到j-2
		for (int j = 2; j < length; j++) {
            for (int i = 0; i <= j-2; i++) {
                if(s.charAt(i)==s.charAt(j)){
                    dp[i][j] = dp[i+1][j-1];
                }else {
                    dp[i][j] = false;
                }
            }
        }

• 基本的动态规划的逻辑已经讲完了，最后只需要取出最大回文字串的两个坐标值即可
• 最终代码

	public static String longestPalindrome(String s) {

        int length = s.length();
        boolean[][] dp = new boolean[length][length];
		//当前回文子串的最大长度
        int maxLen = 1;
        //最长回文子串的左角标
        int left = 0;
        //最长回文子串的右角标
        int right = 0;
		//先处理边界值
        dp[length-1][length-1] = true;
        for (int i = 0; i < length-1; i++) {
        	//对角线
            dp[i][i] = true;
            //次对角线
            dp[i][i+1] = s.charAt(i)==s.charAt(i+1);
            //判断次对角线中是否含有最终答案
            if(dp[i][i+1]){
                maxLen = 2;
                left = i;
                right = i+1;
            }
        }


        for (int j = 2; j < length; j++) {
            for (int i = 0; i <= j-2; i++) {
            	//当前两个字符是否相等
                if(s.charAt(i)==s.charAt(j)){
                	//如果相等只需要取子串对应的值
                    dp[i][j] = dp[i+1][j-1];
                }else {
                	//如果不相等，那么当前肯定不是回文子串
                    dp[i][j] = false;
                }
                //判断是否最长
                if(dp[i][j] && j-i+1>maxLen){
                    maxLen = j-i+1;
                    left = i;
                    right = j;
                }
            }
        }
        return s.substring(left,right+1);
    }

此题还有其他若干解法，如中心扩散等，本文只对动态规划做示例