### ZOJ 1088 线段树 解题思路
#### 题目概述
ZOJ 1088 是一道涉及动态维护区间的经典问题。通常情况下,这类问题可以通过线段树来高效解决。题目可能涉及到对数组的区间修改以及单点查询或者区间查询。
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#### 线段树的核心概念
线段树是一种基于分治思想的数据结构,能够快速处理区间上的各种操作,比如求和、最大值/最小值等。其基本原理如下:
- **构建阶段**:通过递归方式将原数组划分为多个小区间,并存储在二叉树形式的节点中。
- **更新阶段**:当某一段区间被修改时,仅需沿着对应路径向下更新部分节点即可完成全局调整。
- **查询阶段**:利用懒惰标记(Lazy Propagation),可以在 $O(\log n)$ 时间复杂度内完成任意范围内的计算。
具体到本题,假设我们需要支持以下两种主要功能:
1. 对指定区间 `[L, R]` 执行某种操作(如增加固定数值 `val`);
2. 查询某一位置或特定区间的属性(如总和或其他统计量)。
以下是针对此场景设计的一种通用实现方案:
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#### 实现代码 (Python)
```python
class SegmentTree:
def __init__(self, size):
self.size = size
self.tree_sum = [0] * (4 * size) # 存储区间和
self.lazy_add = [0] * (4 * size) # 延迟更新标志
def push_up(self, node):
""" 更新父节点 """
self.tree_sum[node] = self.tree_sum[2*node+1] + self.tree_sum[2*node+2]
def build_tree(self, node, start, end, array):
""" 构建线段树 """
if start == end: # 到达叶节点
self.tree_sum[node] = array[start]
return
mid = (start + end) // 2
self.build_tree(2*node+1, start, mid, array)
self.build_tree(2*node+2, mid+1, end, array)
self.push_up(node)
def update_range(self, node, start, end, l, r, val):
""" 区间更新 [l,r], 加上 val """
if l <= start and end <= r: # 当前区间完全覆盖目标区间
self.tree_sum[node] += (end - start + 1) * val
self.lazy_add[node] += val
return
mid = (start + end) // 2
if self.lazy_add[node]: # 下传延迟标记
self.lazy_add[2*node+1] += self.lazy_add[node]
self.lazy_add[2*node+2] += self.lazy_add[node]
self.tree_sum[2*node+1] += (mid - start + 1) * self.lazy_add[node]
self.tree_sum[2*node+2] += (end - mid) * self.lazy_add[node]
self.lazy_add[node] = 0
if l <= mid:
self.update_range(2*node+1, start, mid, l, r, val)
if r > mid:
self.update_range(2*node+2, mid+1, end, l, r, val)
self.push_up(node)
def query_sum(self, node, start, end, l, r):
""" 查询区间[l,r]的和 """
if l <= start and end <= r: # 完全匹配
return self.tree_sum[node]
mid = (start + end) // 2
res = 0
if self.lazy_add[node]:
self.lazy_add[2*node+1] += self.lazy_add[node]
self.lazy_add[2*node+2] += self.lazy_add[node]
self.tree_sum[2*node+1] += (mid - start + 1) * self.lazy_add[node]
self.tree_sum[2*node+2] += (end - mid) * self.lazy_add[node]
self.lazy_add[node] = 0
if l <= mid:
res += self.query_sum(2*node+1, start, mid, l, r)
if r > mid:
res += self.query_sum(2*node+2, mid+1, end, l, r)
return res
def solve():
import sys
input = sys.stdin.read
data = input().split()
N, Q = int(data[0]), int(data[1]) # 数组大小 和 操作数量
A = list(map(int, data[2:N+2])) # 初始化数组
st = SegmentTree(N)
st.build_tree(0, 0, N-1, A)
idx = N + 2
results = []
for _ in range(Q):
op_type = data[idx]; idx += 1
L, R = map(int, data[idx:idx+2]); idx += 2
if op_type == 'Q': # 查询[L,R]的和
result = st.query_sum(0, 0, N-1, L-1, R-1)
results.append(result)
elif op_type == 'U': # 修改[L,R]+X
X = int(data[idx]); idx += 1
st.update_range(0, 0, N-1, L-1, R-1, X)
print("\n".join(map(str, results)))
solve()
```
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#### 关键点解析
1. **初始化与构建**:在线段树创建过程中,需要遍历输入数据并将其映射至对应的叶子节点[^1]。
2. **延迟传播机制**:为了优化性能,在执行批量更新时不立即作用于所有受影响区域,而是记录更改意图并通过后续访问逐步生效[^2]。
3. **时间复杂度分析**:由于每层最多只访问两个子树分支,因此无论是更新还是查询都维持在 $O(\log n)$ 范围内[^3]。
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