线段树套平衡树

本文介绍了一种将ZYF树作为内层结构,线段树作为外层结构的数据结构实现方法。主要应用于区间操作问题,包括查询区间内的第k大元素、前驱元素、后继元素等。通过具体代码示例详细讲解了如何进行区间插入、删除及查询等操作。

摘要生成于 C知道 ,由 DeepSeek-R1 满血版支持, 前往体验 >

累死了,终于过了

其实也没有什么好说的,就是内层平衡树用struct包起来,外层线段树乱搞即可

唯一要注意的是求区间第k大时要二分答案,边界不能写错,详见代码

由于我太菜了,这题调了很久,不想写题解了,给个链接

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;  
int n,m,root,minn,maxx;
int cnt,cur,ans,MX;
int ls[1010101],rs[1010101],a[50010];
struct hh  
{  
    int v,sz,lson,rson;  
}tr[101010<<7];
struct zyf_tree
{
    int root;
    bool leaf(int x){return !(tr[x].lson||tr[x].rson);}  
    void new_tr(int &k,int x)  
    {  
        k=++cnt;  
        tr[k].v=x;  
        tr[k].sz=1;  
    }  
    void push_up(int x)  
    {  
        if (leaf(x)) return;  
        tr[x].v=max(tr[tr[x].lson].v,tr[tr[x].rson].v);  
        tr[x].sz=tr[tr[x].lson].sz+tr[tr[x].rson].sz;  
    }  
    void rotate(int k,bool dir)   
    {  
        if (!dir)  
        {  
            int r=tr[k].rson;  
            tr[k].rson=tr[k].lson;  
            tr[k].lson=tr[tr[k].rson].lson;  
            tr[tr[k].rson].lson=tr[tr[k].rson].rson;  
            tr[tr[k].rson].rson=r;  
            push_up(tr[k].lson);  
            push_up(tr[k].rson);  
        }  
        else  
        {  
            int l=tr[k].lson;  
            tr[k].lson=tr[k].rson;  
            tr[k].rson=tr[tr[k].lson].rson;  
            tr[tr[k].lson].rson=tr[tr[k].lson].lson;  
            tr[tr[k].lson].lson=l;  
            push_up(tr[k].lson);  
            push_up(tr[k].rson);  
        }  
    }  
    void maintain(int k)  
    {  
        if (leaf(k)) return;
        if (tr[tr[k].lson].sz>=tr[tr[k].rson].sz*4) rotate(k,0);
        if (tr[tr[k].rson].sz>=tr[tr[k].lson].sz*4) rotate(k,1);
    }  
    void insert(int &k,int x)  
    {  
        if (!k)   
        {  
            new_tr(k,x);
            return;  
        }  
        if (leaf(k))   
        {  
            new_tr(tr[k].lson,min(x,tr[k].v));   
            new_tr(tr[k].rson,max(x,tr[k].v));
        	push_up(k);
        	return;  
    	}  
    	int l=tr[tr[k].lson].v;
    	if (x>l) insert(tr[k].rson,x);
    	else insert(tr[k].lson,x);
    	maintain(k);
    	push_up(k);
    }  
    void del(int &k,int fa,int x)
    {  
    	if (leaf(k))
    	{  
    	    if (!fa)
    	    {
    	    	k=0;
    	    	return;
    	    }
            if (tr[k].v==x)
        	{  
        	    if (tr[fa].lson==k) tr[fa]=tr[tr[fa].rson];
        	    else tr[fa]=tr[tr[fa].lson];
        	}
        	return;  
    	}  
    	int l=tr[tr[k].lson].v;
    	if (x>l) del(tr[k].rson,k,x);
    	else del(tr[k].lson,k,x);
    	maintain(k);
    	push_up(k);
    }  
    int rnk(int k,int x)  
    {  
        if (leaf(k))
    	{  
    	    if (x>tr[k].v) return 1;
    	    return 0;
    	}  
    	int l=tr[tr[k].lson].v;
    	if (x>l) return rnk(tr[k].rson,x)+tr[tr[k].lson].sz;
    	return rnk(tr[k].lson,x);
    }  
    int kth(int k,int rnk)
    {  
        if (leaf(k)) return tr[k].v;
        if (rnk<=tr[tr[k].lson].sz) return kth(tr[k].lson,rnk);
        return kth(tr[k].rson,rnk-tr[tr[k].lson].sz);
    }
    int pre(int k,int x)
    {
        int ret=INT_MIN+1;
		while (tr[k].v>=x)
        {
            if (leaf(k)) return ret;
            if (tr[tr[k].lson].v<x)
			{
				ret=max(ret,tr[tr[k].lson].v);
				k=tr[k].rson;
			}
			else k=tr[k].lson;
        }
        if (tr[k].v<x) ret=max(ret,tr[k].v);
        return ret;
    }
    int scc(int k,int x)
    {
        int ret=INT_MAX;
        while (k)
        {
            if (tr[k].v>x) ret=min(ret,tr[k].v);
            if (tr[tr[k].lson].v>x)
            {
                ret=min(ret,tr[tr[k].lson].v);
                k=tr[k].lson;
            }
            else k=tr[k].rson;
        }
        return ret;
    }
}zyf[1010101];
void insert(int &k,int l,int r,int pos,int x)
{
    if (!k) k=++cur;
    zyf[k].insert(zyf[k].root,x);
    if (l==r) return;
    int mid=(l+r)>>1;
    if (pos<=mid) insert(ls[k],l,mid,pos,x);
    else insert(rs[k],mid+1,r,pos,x);
}
void modify(int k,int l,int r,int pos,int x)
{
    if (!k) return;
    zyf[k].del(zyf[k].root,0,a[pos]);
    zyf[k].insert(zyf[k].root,x);
    if (l==r) return;
    int mid=(l+r)>>1;
    if (pos<=mid) modify(ls[k],l,mid,pos,x);
    else modify(rs[k],mid+1,r,pos,x);
}
void rnk(int k,int l,int r,int x,int y,int woc)
{
    if (!k) return;
    if (x<=l&&r<=y) 
    {
        ans+=zyf[k].rnk(zyf[k].root,woc);
        return;
    }
    int mid=(l+r)>>1;
    if (x<=mid) rnk(ls[k],l,mid,x,y,woc);
    if (y>mid) rnk(rs[k],mid+1,r,x,y,woc);
}
int kth(int k,int x,int y)
{
    int l=INT_MIN,r=MX+1,ret=0;
    while (l<r)
    {
        int mid=(l+r)>>1;
        ans=0;
        rnk(root,1,n,x,y,mid);
        if (ans<k) l=mid+1,ret=mid;
        else r=mid;
    }
    return ret;
}
void get_pre(int k,int l,int r,int x,int y,int woc)
{
    if (!k) return;
    if (x<=l&&r<=y)
    {
        ans=max(ans,zyf[k].pre(zyf[k].root,woc));
        return;
    }
    int mid=(l+r)>>1;
    if (x<=mid) get_pre(ls[k],l,mid,x,y,woc);
    if (y>mid) get_pre(rs[k],mid+1,r,x,y,woc);
}
void get_scc(int k,int l,int r,int x,int y,int woc)
{
    if (!k) return;
    if (x<=l&&r<=y)
    {
        ans=min(ans,zyf[k].scc(zyf[k].root,woc));
        return;
    }
    int mid=(l+r)>>1;
    if (x<=mid) get_scc(ls[k],l,mid,x,y,woc);
    if (y>mid) get_scc(rs[k],mid+1,r,x,y,woc);
}
int main()  
{  
    int cur=0,anss;
	scanf("%d %d",&n,&m);  
    for (int i=1;i<=n;i++) scanf("%d",&a[i]),insert(root,1,n,i,a[i]),MX=max(MX,a[i]);
    for (int i=1;i<=m;i++)
    {
    	int l,r,x,opt;
    	scanf("%d",&opt);
    	if (opt==1)
    	{
    		scanf("%d %d %d",&l,&r,&x);
    		ans=0;
    		rnk(root,1,n,l,r,x);
    		ans++;
    		printf("%d\n",ans);
    	}
    	if (opt==2)
    	{
    		scanf("%d %d %d",&l,&r,&x);
    		anss=kth(x,l,r);
    		printf("%d\n",anss);
    	}
    	if (opt==3)
    	{
    		scanf("%d %d",&l,&x);
    		modify(root,1,n,l,x);
    		a[l]=x;
    		MX=max(MX,x);
    	}
    	if (opt==4)
    	{
    		scanf("%d %d %d",&l,&r,&x);
    		ans=INT_MIN+1;
    		get_pre(root,1,n,l,r,x);
    		printf("%d\n",ans);
    	}
    	if (opt==5)
    	{
    		scanf("%d %d %d",&l,&r,&x);
    		ans=INT_MAX;
    		get_scc(root,1,n,l,r,x);
    		printf("%d\n",ans);
    	}
    }
}

注:内层是zyf树,想学的可以看另一篇博客

<think>嗯,用户想了解线段树线段树的实现和应用场景。首先,我需要回忆一下什么是线段树线段树。根据之前的引用内容,比如引用[1]提到,这是一种二维线段树的实现方法,外层处理行,内层处理列。所以,这应该用于处理二维区间的问题,比如矩阵的查询和更新。 接下来,用户可能想知道具体的实现方式。记得引用[2]说过,二维线段树是先按行构建外层线段树,每个节点再按列构建内层线段树。这样分层结构应该能处理二维区域的查询。需要详细说明外层和内层如何协作,可能还要提到每个节点的结构,比如外层节点代表行区间,内层节点处理对应的列区间。 然后应用场景方面,用户可能想知道在哪些实际问题中会用到这种结构。比如矩阵区域求和、最值查询,或者动态二维范围统计,比如游戏中的地图更新。引用[4]提到树套树属于高级数据结构,可能应用在需要高效处理二维数据的场景,比如图像处理或地理信息系统。 另外,需要考虑这种数据结构的优缺点。引用[3]提到其他结构如K-D树或二进制分组可能有不同的适用场景,所以需要对比一下。比如线段树线段树的时间复杂度是O(logN * logM),适用于静态或动态二维数据,但可能空间消耗较大,因为每个外层节点都有内层线段树。 用户还可能想知道具体的代码结构,比如如何嵌实现。可能需要分步骤说明,先构建外层,再在每个节点构建内层,然后处理查询和更新操作。例如,更新某个点时,先在外层找到对应的行区间,再在内层更新列的位置。查询时则需要在多个外层和内层节点上聚合结果。 还要注意正确使用LaTeX格式,比如数学表达式要用$...$,独立公式用$$...$$。比如矩阵范围求和可以写成公式,时间复杂度也要用LaTeX表示。 可能用户没有说出来的深层需求是,如何在实际项目中应用这种结构,或者与其他数据结构的选择比较。因此,在回答时应该涵盖实现步骤、应用例子以及优缺点比较,帮助用户全面理解。 最后,确保引用来源正确,引用[1]和[2]是关于二维线段树的,而引用[3]和[4]提到了其他树结构和应用场景,可能需要适当引用来说明对比和适用范围。</think>### 线段树线段树的实现与应用场景 #### 一、实现方式 线段树线段树(二维线段树)是一种嵌结构,外层线段树管理行维度,每个外层节点再嵌一棵内层线段树管理列维度[^1][^2]。 **实现步骤**: 1. **外层线段树**:按行构建,每个节点表示行区间 $[L, R]$ 2. **内层线段树**:在每个外层节点中按列构建,处理对应行区间内的列区间查询 3. **数据存储**:外层节点的每个叶子节点对应一行数据,其内层线段树存储该行的列数据 **示例代码框架**(伪代码): ```python class OuterNode: inner_tree = InnerSegmentTree() # 内层线段树 class TwoDimensionalSegmentTree: def build(self, rows): # 外层构建 for row in rows: outer_node = build_outer_tree(row) outer_node.inner_tree.build(row.columns) # 内层构建 def query(self, x1, x2, y1, y2): # 外层查询行区间 [x1, x2],内层查询列区间 [y1, y2] return outer_query(x1, x2).inner_query(y1, y2) def update(self, x, y, value): # 外层定位行x,内层更新列y outer_locate(x).inner_update(y, value) ``` #### 二、时间复杂度分析 - **单点更新**:$O(\log N \cdot \log M)$(外层树深度 $\log N$,内层树深度 $\log M$) - **区域查询**:$O(\log N \cdot \log M)$ - **空间复杂度**:$O(N \cdot M)$(最坏情况下) #### 三、应用场景 1. **动态矩阵区域操作** - 实时更新矩阵元素值 - 查询子矩阵的和/最大值,例如: $$ \sum_{i=a}^{b} \sum_{j=c}^{d} matrix[i][j] $$ 2. **地理信息系统** - 动态统计矩形区域内的点数量(如地图热点分析) 3. **图像处理** - 对图像局部区域进行像素值统计或滤波操作[^2] #### 四、与其他结构的对比 | 结构类型 | 适用场景 | 时间复杂度 | 空间复杂度 | |-----------------|--------------------------|------------------|-------------| | 线段树线段树 | 动态二维区间查询/更新 | $O(\log^2 n)$ | $O(n^2)$ | | K-D Tree | 静态高维近邻搜索 | $O(n^{1-1/d})$ | $O(n)$ | | 二维前缀和 | 静态矩阵区域求和 | $O(1)$查询 | $O(n^2)$ | #### 五、优化方向 1. **惰性标记扩展**:在内层线段树中引入惰性传播,支持区间批量更新 2. **空间压缩**:对稀疏矩阵使用动态开点技术[^3] 3. **混合结构**:对行使用线段树,对列使用树状数组以降低常数因子[^4]
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