青蛙过河最少踩石问题-优快云博客

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题目描述

在河上有一座独木桥，一只青蛙想沿着独木桥从河的一侧跳到另一侧。在桥上有一些石子，青蛙很讨厌踩在这些石子上。由于桥的长度和青蛙一次跳过的距离都是正整数，我们可以把独木桥上青蛙可能到达的点看成数轴上的一串整点：0，1，……，L（其中L是桥的长度）。坐标为0的点表示桥的起点，坐标为L的点表示桥的终点。青蛙从桥的起点开始，不停的向终点方向跳跃。一次跳跃的距离是S到T之间的任意正整数（包括S,T）。当青蛙跳到或跳过坐标为L的点时，就算青蛙已经跳出了独木桥。

题目给出独木桥的长度L，青蛙跳跃的距离范围S,T，桥上石子的位置。你的任务是确定青蛙要想过河，最少需要踩到的石子数。
对于30%的数据，L < = 10000；
对于全部的数据，L < = 10^9。

输入数据

输入的第一行有一个正整数 L （ 1 ≤ L ≤ 109 ），表示独木桥的长度。第二行有三个正整数 S ， T ， M ，分别表示青蛙一次跳跃的最小距离，最大距离，及桥上石子的个数，其中 1 ≤ S ≤ T ≤ 10 ， 1 ≤ M ≤ 100 。第三行有 M 个不同的正整数分别表示这 M 个石子在数轴上的位置（数据保证桥的起点和终点处没有石子）。所有相邻的整数之间用一个空格隔开。

输出数据

输出只包括一个整数，表示青蛙过河最少需要踩到的石子数。

样例输出
2

解题思路 ¹

题意

河上有桥，桥上有石子，青蛙需要沿着桥跳到河的另一侧。给出桥长L、青蛙跳的范围[s , t]、石子数量m及每个石子的位置a[i]，求青蛙最少踩到的石子数。
数据规模：1≤L≤109 ，1≤s≤t≤10，1≤M≤100

策略：

①对于任一位置x , 只能由前面[x-t , x-s]这个范围的位置跳过来，因此只要先求出这些位置踩的石子数，找个最少的位置跳过来就ok。因此很容易想到动态转移方程：

stepNumber[x]=min(stepNumber[x]，stepNumber[x-j])+isStone[x] ( j∈[s , t])

stepNumber[x]表示从桥头跳到x处需踩的最少石子数，isStone[x]表示x处是否是石头（1表示是，0表示否）。

②桥长可达10亿，即状态数可达10亿。很显然，数组是不能开到这么大的，怎么办？由此我们想到，能否将状态数减少，又不影响结果呢？通过观察，题目中的石子数最多只有100，如果把这些石子数放到长度为10亿单位的桥上，那是多么的稀疏呀，这就为我们提供了可能。
怎么样压缩？压缩后两个石子间距离保留多长才不影响结果呢？
在这里插入图片描述
设第k个石子座标为x，第k-1个石子和第k个石子间距离足够大，则青蛙从两个石子间跳到第k个石子及之后的位置有：x、x+1、x+2、x+3……x+t-1。如果我们能保证，将石子k-1和石子k之间的距离缩短（即减少状态）后，青蛙依然能跳到这些位置，则可以平移。而这一点我们可以通过在两个石子间保留1个最小公倍数单位长度得到保证。
③注意特殊情况：当s=t时，只需考查石子是否是s的倍数即可。这种情况单独考查。

# encoding: utf-8

class acrossRiver:
    S, T, M, stonePos = 0, 0, 0, []

    def __init__(self, s, t, m, stonepos):
        self.S, self.T, self.M, self.stonePos = s, t, m, stonepos

    def step(self):
        isStone = [0]* 10000    # isStone[x]表示位置x是否是石子，0表示不是，1表示是
        stepNumber = [0]*10000  # stepNumber[x]表示青蛙跳到位置i最少踏的石子数
        LCM = S*T               # K是S与T的最小公倍数
        translation = 0         # 累加平移量
        for i in range(1, M+2):
            distance = stonePos[i] - translation - stonePos[i-1]    # 表示相邻两个石头间的距离
            if distance > LCM:
                translation = translation + (distance - LCM)   # 超过最小公倍数的部分用作平移
            stonePos[i] = stonePos[i] - translation     # 对第i个石头进行平移,获得平移后的位置
            isStone[stonePos[i]] = 1        # 标记平移后的位置是石子
        isStone[stonePos[M+1]] = 0          # 桥尾的位置不是石子
        for i in range(1, stonePos[M+1]+T):   # 考虑桥上到桥尾的所有位置
            stepNumber[i] = 101
            for j in range(S, T+1):             # 在i的前一个位置中找一个经历石子最少的位置
                if i >= j:
                    stepNumber[i] = min(stepNumber[i], stepNumber[i-j])
            stepNumber[i] += isStone[i]            # 加上当前位置石子数
        ans = 101
        for k in range(stonePos[M+1], stonePos[M+1]+T):     # 在跳过桥后所有位置中找一个最小值
            ans = min(ans, stepNumber[k])
        return ans

if __name__ == '__main__':
    L = int(input())
    S, T, M = map(int, input().split())
    # stonePos[i] 第i个石子的位置x=stonePos[i](i>=1且i<=M),其中stonePos[0]表示桥头,stonePos[M+1]表示桥尾
    stonePos = [0]          # 桥头的位置,在stonePos[0]处
    stonePos = stonePos + list(map(int, input().split()))
    stonePos.append(L)     # 桥尾的位置,在stonePos[M+1]处
    stonePos.sort()  # 对桥中间石子位置排序，这上步必须要有
    stonePos = stonePos + [0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0]
    leastStep = 0

    if S == T:
        for i in range(1, M+1):
            if stonePos[i] % S == 0:
                leastStep += 1
        print(leastStep)
    else:
        across = acrossRiver(S, T, M, stonePos)
        leastStep = across.step()
        print(leastStep)