10分钟理解托马斯算法（tridiagonal matrix algorithm，Thomas algorithm）

最新推荐文章于 2021-11-30 09:33:06 发布

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本文详细介绍了如何使用Thomas算法解决三对角线性方程组问题，包括计算过程中的关键步骤，如f和e系数的计算、向前代换和向后代换等，并提供了完整的MATLAB实现代码。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

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遇到隐式格式，我们需要求解一个线性方程组。怎么办呢？当然是Thomas algorithm

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注意到第一处箭头。
接着是矩阵化：

对角占有就可以LU分解

重头戏：Thomas algorithm
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A = ⎡ ⎣ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ b 1 - a 2 - c 1 b 2 ⋱ - c 2 ⋱ - a N - 1 ⋱ b N - 1 - a N c N - 1 b N ⎤ ⎦ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥, L = ⎡ ⎣ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ 1 e 2 1 ⋱ ⋱ e N - 1 1 e N 1 ⎤ ⎦ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥

$A=\begin{bmatrix} b_1 &-c_1 & \\ -a_2 &b_2 &-c_2 \\ & \ddots\ & \ddots &\ddots\ \\ & & -a_{N-1} &b_{N-1}&c_{N-1}\\ & & &-a_{N} &b_{N} \end{bmatrix},L=\begin{bmatrix} 1 & & \\ e_2 &1 & \\ & \ddots\ & \ddots \\ & & e_{N-1} &1\\ & & &e_N &1 \end{bmatrix}$

U = ⎡ ⎣ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ f - c 1 f 2 - c 2 ⋱ ⋱ f N - 1 - c N - 1 f N ⎤ ⎦ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥

$U=\begin{bmatrix} f &-c_1 & \\ &f_2 &-c_2 \\ & & \ddots &\ddots \\ & & &f_{N-1}&-c_{N-1}\\ & & &&f_N \end{bmatrix}$
1.首先是计算

f1f1 $f_1$
L的第一行乘以U的第一列，得到A的第一行第一列的元素，即

1 * f 1 = b 1

$1*f_1=b_1$
2.接着计算出每个

ei,fi,i=2,3...Nei,fi,i=2,3...N $e_i,f_i,i=2,3...N$
计算

e2e2 $e_2$ :
L的第二行乘以U的第一列，得到A第二行第一列的元素，即

e 2 * f 1 = - a 2

$e_2*f_1=-a_2$
得到

e2=−a2/f1e2=−a2/f1 $e_2=-a_2/f_1$
计算

e3e3 $e_3$ :
L的第三行乘以U的第二列（乘以第一列为零），得到A第三行第二列的元素，即

0 * - c 1 + e 3 * f 2 = - a 3

$0*-c_1+e_3*f_2=-a_3$
得到

e3=−a3/f2e3=−a3/f2 $e_3=-a_3/f_2$
依次类推~~~
3.计算

fi,i=2,3..Nfi,i=2,3..N $f_i,i=2,3..N$
L的第二行乘以U的第二列，得到A的第二行第二列的元素，即

e 2 * - c 1 + f 2 = b 2

$e_2*-c_1+f_2=b_2$
得到

f2=b2+e2∗c1f2=b2+e2∗c1 $f_2=b_2+e_2*c_1$
计算

f3f3 $f_3$ :
L的第三行乘以U的第三列，得到A的第三行第三列的元素，即

e 3 * - c 2 + f 3 = b 3

$e_3*-c_2+f_3=b_3$
得到

f3=b3+e3∗c2f3=b3+e3∗c2 $f_3=b_3+e_3*c_2$

依次类推

计算 $y_i,i=1,2,3,...,N$

U = ⎡ ⎣ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ f - c 1 f 2 - c 2 ⋱ ⋱ f N - 1 - c N - 1 f N ⎤ ⎦ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥, X = ⎡ ⎣ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ x 1 x 2 ⋮ ⋮ x N ⎤ ⎦ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥

$U=\begin{bmatrix} f &-c_1 & \\ &f_2 &-c_2 \\ & & \ddots &\ddots \\ & & &f_{N-1}&-c_{N-1}\\ & & &&f_N \end{bmatrix},X=\begin{bmatrix} x_1\\ x_2\\ \vdots\\ \vdots\\ x_N\\ \end{bmatrix}$

Y = ⎡ ⎣ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ f - c 1 f 2 - c 2 ⋱ ⋱ f N - 1 - c N - 1 f N ⎤ ⎦ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ * ⎡ ⎣ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ x 1 x 2 ⋮ ⋮ x N ⎤ ⎦ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ = ⎡ ⎣ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ f 1 * x 1 - c 1 x 2 f 2 * x 2 - c 2 x 3 ⋮ ⋮ f N * x N ⎤ ⎦ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ = ⎡ ⎣ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ y 1 y 2 ⋮ ⋮ y N ⎤ ⎦ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥

$Y=\begin{bmatrix} f &-c_1 & \\ &f_2 &-c_2 \\ & & \ddots &\ddots \\ & & &f_{N-1}&-c_{N-1}\\ & & &&f_N \end{bmatrix}*\begin{bmatrix} x_1\\ x_2\\ \vdots\\ \vdots\\ x_N\\ \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} f_1*x_1-c_1x_2\\ f_2*x_2-c_2x_3\\ \vdots\\ \vdots\\ f_N*x_N\\ \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} y_1\\ y_2\\ \vdots\\ \vdots\\ y_N\\ \end{bmatrix}$

d = ⎡ ⎣ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ d 1 d 2 ⋮ ⋮ d N ⎤ ⎦ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥

$d=\begin{bmatrix} d_1\\ d_2\\ \vdots\\ \vdots\\ d_N\\ \end{bmatrix}$
这里写图片描述

由L的

L = ⎡ ⎣ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ 1 e 2 1 ⋱ ⋱ e N - 1 1 e N 1 ⎤ ⎦ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥

$L=\begin{bmatrix} 1 & & \\ e_2 &1 & \\ & \ddots\ & \ddots \\ & & e_{N-1} &1\\ & & &e_N &1 \end{bmatrix}$

L∗Y=dL∗Y=d $L*Y=d$
L的第一行乘以Y，即

1∗y1=d11∗y1=d1 $1*y_1=d_1$ ,

y1=d1y1=d1 $y_1=d_1$
L的第二行乘以Y，即

e2∗y1+1∗y2=d2e2∗y1+1∗y2=d2 $e_2*y_1+1*y_2=d_2$ ,

y2=d2−e2∗y1y2=d2−e2∗y1 $y_2=d_2-e_2*y_1$
L的第三行乘以Y，即

e3∗y2+1∗y3=d3e3∗y2+1∗y3=d3 $e_3*y_2+1*y_3=d_3$ ,

y3=d2−e2∗y2y3=d2−e2∗y2 $y_3=d_2-e_2*y_2$
依次类推，

yi=di−di∗yi−1,i=2,3,...,Nyi=di−di∗yi−1,i=2,3,...,N $y_i = d_i -d_i*y_{i-1},i=2,3,...,N$

这里写图片描述
计算 $x_i,i=N,N-1,...,1$
由上面计算出 $y_i$

Y = ⎡ ⎣ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ f - c 1 f 2 - c 2 ⋱ ⋱ f N - 1 - c N - 1 f N ⎤ ⎦ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ * ⎡ ⎣ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ x 1 x 2 ⋮ ⋮ x N ⎤ ⎦ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ = ⎡ ⎣ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ f 1 * x 1 - c 1 x 2 f 2 * x 2 - c 2 x 3 ⋮ ⋮ f N * x N ⎤ ⎦ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ = ⎡ ⎣ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ y 1 y 2 ⋮ ⋮ y N ⎤ ⎦ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥

xN∗fN=yNxN∗fN=yN $x_N*f_N=y_N$ ，

xN−1∗fN−1−cN−1∗xNxN−1∗fN−1−cN−1∗xN $x_{N-1}*f_{N-1}-c_{N-1}*x_N$
…..

x2∗f2−c2∗x3x2∗f2−c2∗x3 $x_2*f_2-c_2*x_3$

x1∗f1−c1∗x2x1∗f1−c1∗x2 $x_1*f_1-c_1*x_2$

计算 $x_i$
则有：
$x_i = (y_i+c_i*x_{i+1})/f_i,i=N-1,N-2,...,1$
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matlab代码：

function x = thomas(N, a, b, c, d)
e = zeros(N,1);
f = zeros(N,1);
x = zeros(N,1);
y = zeros(N,1);
% compute f_i and e_i
f(1) = b(1);
for i = 2:1:N
e(i) = - a(i)/f(i-1);
f(i) = b(i) + e(i)*c(i-1);
end
% compute y_i
y(1) = d(1);
for i = 2:1:N
y(i) = d(i) - e(i)*y(i-1);
end
% compute x_i
x(N) = y(N)/f(N);
for i = N-1:-1:1
x(i) = (y(i) + c(i)*x(i+1))/f(i);
end