博弈论

巴什博弈

题意：一堆n个物品，两人轮流取，每次取1至m个，最后取完者胜。

可以发现，两人每次取的时候，两人所取物品之和最多可以为（1+m）个，也就是说，游戏每进行一轮，物品可减少（m+1）个，所以，要想先取到第n个物品，那么他就要先取出n-(m+1)物品，再下一次为 n-2(m+1)，依次类推.......

因此，可以发现r=n%(m+1) ，如果r==0的话，则后取物品的人获胜，反之，则先取物品的人获胜。

代码入下：

#include<stdio.h>
int main(){
    int n,m;//m表示可以取(1~m)个物品数，n表示物品的总数
    scanf("%d%d",&n,&m);
    if((n%(m+1)))
        printf("先手赢\n");
    else
        printf("后手赢");
    return 0;
}

 尼姆博弈

题意：有任意堆物品，两人任意从其中一堆取走任意个物品，至少取走一个物品，最后取完物品的人赢。

解决办法：将所有堆得物品数进行异或运算，如果结果为0，则后取的赢，否则，先取的赢。

代码如下：

#include<stdio.h>

int main()
{
    int n,ans,temp;
    while(~scanf("%d",&n))
    {
        temp=0;
        for(int i=0;i<n;i++)
        {
            scanf("%d",&ans);
            temp^=ans;
        }
        if(temp==0)
            printf("后手赢\n");
        else
            printf("先手赢\n");
    }
    return 0;
}

 威佐夫博弈

题意：有两堆物品，两人从其中一堆物品中取任意个物品，或者同时从两堆中取出相同数量的物品，取完所有物品的人赢。

解题方法：假设两堆物品中的物品数分别位(x,y)（注：x<y）,则z=y-x，记w=(int)( (sqrt(5)+1)/2*z )  ，如果x==w,后手赢，否则先手赢。

代码入下：

#include<stdio.h>
#include<math.h>
#include<iostream>
using namespace std;

int main(){
    long long T;
    scanf("%I64d",&T);
    while(T--){
        long long A,B;
        scanf("%I64d",&A);
        scanf("%I64d",&B);
        long long a=min(A,B);
        long long b=max(A,B);
        long long z=b-a;
        long long w=(long long)(((sqrt(5)+1)/2)*z);
        if(w==a)
            printf("B\n");
        else
            printf("A\n");
    }
    return 0;
}