BZOJ2839 集合计数【二项式反演】

题目链接：https://darkbzoj.tk/problem/2839

题意：
一个有N个元素的集合有$2^{N个不同子集（包含空集）}$，现在要在这$2^N$个集合中取出若干集合（至少一个），使得
它们的交集的元素个数为K，求取法的方案数

题解：
设$f[K]$表示交集大小$\ge K$的方案数，则$f[K]=C(n,k)\ast (2^{2^{n-i}}-1)$ （考虑钦定 k 个，剩下的随便选，有$2^{n-i}$个集合，共$2^{2^{n-i}}$种 且不能不选）
设$g[K]$表示交集恰好为$K$的方案数，则$f[K]={\sum }_{i=K}^{n}C(n,i)g[i]$
根据二项式反演，$g[K]={\sum }_{i=k}^n(-1{)}^{i-k}{C}_i^{k}f(i)$
然后$2^{2^X}$用费马小定理，等于$2^{(2^x)\%(mod-1)}$两次快速幂即可

代码：

// by Balloons
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <iostream>
#include <algorithm>
#define mpr make_pair
#define debug() puts("okkkkkkkk")
#define rep(i,a,b) for(int (i)=(a);(i)<=(b);(i)++)

using namespace std;

typedef long long LL;

const int inf = 1e9, maxn=1e6+5, mod=1e9+7;

int n,k;
int neg(int x){if(x&1)return -1;return 1;}
int f[maxn],fac[maxn],inv[maxn];

int pw(int x,int y,int md){
	if(y == 0)return 1;if(y == 1)return x;
	int mid=pw(x,y>>1,md);
	if(y&1)return 1ll*mid*mid%md*x%md;
	return 1ll*mid*mid%md;
}

int C(int x,int y){
	if(x<y)return 0;
	return 1ll*fac[x]*inv[y]%mod*inv[x-y]%mod;
}

int main(){
	fac[0] = inv[0] = 1;
	for(int i=1;i<=maxn-5;i++)fac[i] = 1ll*fac[i-1]*i%mod;
	inv[maxn-5] = pw(fac[maxn-5],mod-2,mod);
	for(int i=maxn-6;i>=1;i--)inv[i] = 1ll*inv[i+1]*(i+1)%mod;
	
	scanf("%d%d",&n,&k);
	for(int i=0;i<=n;i++){
		f[i] = 1ll*C(n,i)*(pw(2,pw(2,n-i,mod-1),mod)-1)%mod;
	}
	LL ans = 0;
	for(int i=k;i<=n;i++){
		ans = (ans + 1ll*neg(i+k)*C(i,k)%mod*f[i]%mod)%mod;
		ans = (ans+mod)%mod;
//		printf("%lld\n",ans);getchar();
	}
	printf("%lld\n",ans);

	return 0;
}