Triangles 正多边形分割锐角三角形

本文探讨了一个数学问题:给定一个圆被N个点分成N段等长圆弧,如何计算由这些点组成的锐角三角形的数量。通过组合数学的方法给出了公式,并附带了一段C语言代码实现。

题目描述

已知一个圆的圆周被N个点分成了N段等长圆弧,求任意取三个点,组成锐角三角形的个数。

输入

 多组数据,每组数据一个N(N <= 1000000)

输出

对于每组数据,输出不同锐角三角形的个数。

样例输入

3
4
5

样例输出

1
0
5

求所有不同锐角三角形的个数,只需要求出所有三角形的个数然后减去钝角和直角三角形的个数即:C(n,3)-C(n,1)*C(n/2,2);


#include<stdio.h>
int main()
{
	long long n;
	while(scanf("%lld",&n)!=EOF)
	{
		printf("%lld\n",((n-1)*(n-2))*n/3/2-((n/2-1)*(n/2)/2*n));
	}
	return 0;
}


可以使用Qt的QPolygon类来表示多边形,并使用它的函数triangulate()将多边形分割三角形。以下是一个示例: ```cpp QPolygonF polygon; // 定义多边形 polygon << QPointF(0, 0) << QPointF(50, 0) << QPointF(50, 50) << QPointF(0, 50); // 添加多边形的顶点 QVector<QPolygonF> triangles = polygon.triangulate(); // 将多边形分割三角形 for (int i = 0; i < triangles.size(); i++) { QPolygonF triangle = triangles.at(i); // 处理每个三角形 } ``` 如果要将多边形分割成四边形,则需要编写自己的算法。一种常见的方法是使用四边形分割算法(Quadtree Subdivision Algorithm)。该算法将多边形递归地分割成四个子多边形,直到每个子多边形都可以近似为一个矩形。以下是一个示例实现: ```cpp struct QuadNode { QRectF rect; QList<QuadNode*> children; QPolygonF polygon; QuadNode(QRectF rect) { this->rect = rect; } ~QuadNode() { qDeleteAll(children); } // 分割子节点 void subdivide() { if (children.isEmpty()) { qreal cx = rect.center().x(); qreal cy = rect.center().y(); qreal w = rect.width() / 2; qreal h = rect.height() / 2; children << new QuadNode(QRectF(rect.topLeft(), QSizeF(w, h))); children << new QuadNode(QRectF(QPointF(cx, rect.top()), QSizeF(w, h))); children << new QuadNode(QRectF(QPointF(rect.left(), cy), QSizeF(w, h))); children << new QuadNode(QRectF(QPointF(cx, cy), QSizeF(w, h))); } } // 将多边形添加到节点中 void addPolygon(const QPolygonF& polygon) { if (rect.contains(polygon.boundingRect())) { if (children.isEmpty()) { this->polygon = polygon; } else { subdivide(); for (int i = 0; i < children.size(); i++) { children.at(i)->addPolygon(polygon); } } } } // 将节点及其子节点的多边形分割成四边形 void quadify(QList<QPolygonF>& quads) { if (!polygon.isEmpty()) { quads << polygon; } else { for (int i = 0; i < children.size(); i++) { children.at(i)->quadify(quads); } } } }; // 分割多边形成四边形 QList<QPolygonF> quadifyPolygon(const QPolygonF& polygon) { QRectF rect = polygon.boundingRect(); QuadNode root(rect); for (int i = 0; i < polygon.size(); i++) { QPolygonF triangle; triangle << polygon.at(i) << polygon.at((i+1)%polygon.size()) << rect.center(); root.addPolygon(triangle); } QList<QPolygonF> quads; root.quadify(quads); return quads; } ``` 使用该算法,可以将多边形分割成四边形: ```cpp QPolygonF polygon; // 定义多边形 polygon << QPointF(0, 0) << QPointF(50, 0) << QPointF(50, 50) << QPointF(0, 50); // 添加多边形的顶点 QList<QPolygonF> quads = quadifyPolygon(polygon); // 将多边形分割成四边形 for (int i = 0; i < quads.size(); i++) { QPolygonF quad = quads.at(i); // 处理每个四边形 } ```
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