最小二乘法和偏导

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博客介绍了数学中的偏导数，即多变量函数关于其中一个变量的导数，保持其他变量恒定。还阐述了最小二乘法，它是一种数学优化技术，通过最小化误差平方和寻找数据最佳函数匹配，并介绍了其历史，包括高斯、勒让德相关事迹及高斯 - 马尔可夫定理。

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偏导
在数学中，一个多变量的函数的偏导数，就是它关于其中一个变量的导数而保持其他变量恒定（相对于全导数，在其中所有变量都允许变化）。

求对 x 的偏导数，视 y 为常量， 对 x 求导；
求对 y 的偏导数，视 x 为常量， 对 y 求导。

最小二乘法

最小二乘法（又称最小平方法）是一种数学优化技术。它通过最小化误差的平方和寻找数据的最佳函数匹配。

历史
1801年，意大利天文学家朱赛普·皮亚齐发现了第一颗小行星谷神星。经过40天的跟踪观测后，由于谷神星运行至太阳背后，使得皮亚齐失去了谷神星的位置。随后全世界的科学家利用皮亚齐的观测数据开始寻找谷神星，但是根据大多数人计算的结果来寻找谷神星都没有结果。时年24岁的高斯也计算了谷神星的轨道。奥地利天文学家海因里希·奥尔伯斯根据高斯计算出来的轨道重新发现了谷神星。

高斯使用的最小二乘法的方法发表于1809年他的著作《天体运动论》中。

法国科学家勒让德于1806年独立发明“最小二乘法”，但因不为世人所知而默默无闻。

勒让德曾与高斯为谁最早创立最小二乘法原理发生争执。
1829年，高斯提供了最小二乘法的优化效果强于其他方法的证明，因此被称为高斯-马尔可夫定理。（来自于wikipedia）

参考：
https://blog.youkuaiyun.com/ccnt_2012/article/details/81127117
https://blog.youkuaiyun.com/nienelong3319/article/details/80894621

lalalagjl
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最小二乘法
zhaoqqa的博客
08-27 1120
最小二乘法是用来做函数拟合或求函数极值的方法，在机器学习，尤其是回归模型中，经常可以看到最小二乘法的身影。 它通过最小化误差和寻找数据的最佳函数匹配。利用最小二乘法可以简便地求得未知的数据，并使得这些求得的数据与实际数据之间误差的平方和为最小。最小二乘法实质就是最小化“均方误差”，而均方误差就是残差平方和的1/m(m为样本数)，同时均方误差也是回归任务中最常用的性能度量。 1.最小二乘法的原理...
偏最小二乘法_实例讲解：简明扼要最小二乘法计算过程
weixin_39833454的博客
12-16 3528
最小二乘法也被称作最小平方法，最常用的是普通最小二乘法（Ordinary Least Square），它是一种数学中的优化方法，试图找到一个或一组估计值，使得实际值与估计值的尽可能相似，距离最小，目的是通过已有的数据来预测未知数据。一般通过一条多元一次的直线方程，在二维坐标中即二元一次方程，例如在二维坐标中，有非常多的点分散在其中，试图绘制一条直线，使得这些分散的点到直线上的距离最小。这里的距离最...
Opencv(C++)学习之 一种用opencv实现高斯曲线拟合的方法
lez1021的博客
12-11 4082
1、用opencv实现高斯曲线拟合
最小二乘法解析
最新发布
DuHz的博客
06-05 1370
最小二乘法是一种经典的数据拟合和参数估计方法，通过最小化误差平方和来寻找最佳拟合参数。该方法起源于18-19世纪天文学和测地学研究，由勒让德和高斯各自独立发展。其数学原理是基于正规方程求解，可扩展到多元线性回归模型，并具有严格的几何解释——将观测向量投影到设计矩阵的列空间上。最小二乘法因其理论基础坚实、计算简便而在科学和工程领域广泛应用。
信号分析——高斯函数拟合(Java/Matlab)
RKGG爱吃鱼
05-15 1万+
由于上一篇博文提到的多项式拟合模型的拟合系数没有任何物理意义，而化学分析中，有许多具有明确物理意义的二维谱图，图光谱、色谱等，其信号峰位置、峰高、峰宽等均具有实际物理意义，因此，提出使用高斯曲线进行数据拟合和表征。 高斯函数仅适用于对称谱图，其简图如下： 假设光谱曲线，可用简单的高斯函数表达： 其中，ymax、xmax和S分别为峰高、峰位和区域宽度，可通过非线性拟合的方法来求解，其过...
matlab实现高斯拟合
weixin_45951391的博客
11-28 6605
在MATLAB中实现高斯拟合通常涉及使用高斯函数来拟合数据集。对于二维高斯拟合，可以使用fit函数和自定义的高斯模型。然而，将一个二维高斯分布转换为两个一维高斯分布并不总是直接可行，因为二维高斯分布可能包含项，这些项在两个一维高斯中不能简单对应。如果二维高斯分布是可分离的（即没有交叉项），那么可以分别对x和y方向进行拟合。
opencv 实现高斯混合模型GMM
12-07
这是opencv实现的高斯混合模型，已经运行成功
最小二乘法拟合多项式_多项式拟合_最小二乘法_最小二乘法拟合多项式_
10-03
例如，对于二次多项式拟合，我们可以设f(xi) = ax^2 + bx + c，那么误差平方和E关于a、b、c的偏导数为： ∂E/∂a = Σ[2(xi^2)(yi - f(xi))] ∂E/∂b = Σ[2xi(yi - f(xi))] ∂E/∂c = Σ[2(yi - f(xi))] 解这个...
最小二乘法的计算过程
梦醒时分@ying的博客
11-26 9231
过程1 ：求偏导联立方程的过程： {∂F∂b=2∑i=1n(axi+b−yi)=0(1)∂F∂a=2∑i=1n(axi+b−yi)∗xi=0(2)\left\{ \begin{array}{l} \frac{\partial{F}}{\partial{b}}=2\sum_{i=1}^{n}\left(ax_i+b-y_i\right)=0& \left(1\right)\\ \fr...
最小二乘法计算工具，支持64个点，精度double
10-12
最小二乘法通过求解偏导数并令其为零，可以求出a和b的最优值。这一过程涉及到矩阵运算和线性代数知识。 工具的源代码开放给用户，这意味着用户不仅可以使用工具，还可以根据自己的需求和理解对算法进行修改和优化。...
高斯曲线拟合
Yuancccc的博客
12-27 7万+
一、高斯函数： a表示得到曲线的高度，b是指曲线在x轴的中心，c指width(与半峰全宽有关),图形如下： 高斯拟合(Gaussian Fitting)即使用形如： Gi(x)=Ai*exp((x-Bi)2/Ci2) 的高斯函数对数据点集进行函数逼近的拟合方法。 其实可以跟多项式拟合类比起来，不同的是多项式拟合是用幂函数系， 而高斯拟合是用高斯函数系。 使用高斯函数来进行拟合，优点在于计算积分...
拟合函数--高斯，拉普拉斯，双高斯拟合
12-07
% This folder contains a collection of "fitting" functions. % (Some has demo options - the third section) % The GENERAL input to the functions should be samples of the distribution. % % for example, if we are to fit a normal distribution ('gaussian') with a mean "u" and varaince "sig"^2 % then the samples will distribute like: % samples = randn(1,10000)*sig + u % %fitting with Least-Squares is done on the histogram of the samples. % fitting with Maximum likelihood is done directly on the samples. % % % Contents of this folder % ======================= % 1) Maximum likelihood estimators % 2) Least squares estimators % 3) EM algorithm for estimation of multivariant gaussian distribution (mixed gaussians) % 4) added folders: Create - which create samples for the EM algorithm test % Plot - used to plot each of the distributions (parametric plot) % % % % % % Maximum likelihood estimators % ============================= % fit_ML_maxwell - fit maxwellian distribution % fit_ML_rayleigh - fit rayleigh distribution % (which is for example: sqrt(abs(randn)^2+abs(randn)^2)) % fit_ML_laplace - fit laplace distribution % fit_ML_log_normal- fit log-normal distribution % fit_ML_normal - fit normal (gaussian) distribution % % NOTE: all estimators are efficient estimators. for this reason, the distribution % might be written in a different way, for example, the "Rayleigh" distribution % is given with a parameter "s" and not "s^2". % % % least squares estimators % ========================= % fit_maxwell_pdf - fits a given curve of a maxwellian distribution % fit_rayleigh_pdf - fits a given curve of a rayleigh distribution % % NOTE: these fit function are used on a histogram output which is like a sampled % distribution function. the given curve MUST be normalized, since the estimator % is trying to fit a normalized distribution function. % % % % % Multivariant Gaussian distribution % ================================== % for demo of 1
opencv实现高斯核函数
11-09
opencv实现高斯核函数。 1)sigma可控的高斯核函数 2）sigma和维度可控的高斯核函数
用OpenCV对图像中圆的检测以及拟合
12-24
用OpenCV对图像中圆的检测以及拟合，很有用噢
将二维高斯函数拟合到数据：将二维高斯函数拟合到模拟数据。-matlab开发
05-30
该程序生成一个二维高斯。 然后程序尝试使用 MatLab 函数“lsqcurvefit”拟合数据，以找到二维高斯的位置、方向和宽度。 不输入参数执行“mainD2GaussFitRot.m”。 二维高斯函数由函数“D2GaussFunctionRot.m”和“D2GaussFunction.m”定义
高斯(Gaussian)拟合的实现
Du_Shuang的博客
06-10 2万+
转载于：https://blog.youkuaiyun.com/c914620529/article/details/50393238 高斯拟合(Gaussian Fitting)即使用形如：                Gi(x)=Ai*ex...
高斯曲线拟合原理及实现
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c914620529的博客
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高斯拟合(Gaussian Fitting)即使用形如：                Gi(x)=Ai*exp((x-Bi)^2/Ci^2)         的高斯函数对数据点集进行函数逼近的拟合方法。         其实可以跟多项式拟合类比起来，不同的是多项式拟合是用幂函数系，         而高斯拟合是用高斯函数系。         使用高斯函数来进行拟合，
线性最小二乘估计，求偏导过程的符号化简
qwer12344512的博客
09-07 562
对于第一个公式，由于维度的原因，P：N*1，A：M*N，B：N*1；先放图，对于线性最小二乘估计求导，其对转置的参数求偏导为什么会有两倍？都是1*1的标量，并且二者互为转置，注意不是共轭转置，所以他们相等。
最小二乘法求二阶偏导数
03-11
<think>嗯，用户想了解如何使用最小二乘法计算二阶偏导数，需要方法、公式和示例。首先，我得回忆一下最小二乘法的基本原理和应用场景。根据引用[4]，最小二乘法主要用于优化问题，通过最小化误差平方和找到最佳匹配函数。通常在曲线拟合中使用，尤其是在方程个数超过未知数的情况下。 接下来，问题涉及到二阶偏导数的计算。在最小二乘法的框架下，通常需要构建目标函数，然后对参数求导以找到极值点。二阶偏导数可能出现在Hessian矩阵中，用于判断极值的性质或者优化算法的步骤，比如牛顿法。不过用户提到的可能是如何用最小二乘法来估计二阶导数本身，比如在数据拟合中求取函数的二阶导数参数，或者通过离散数据点计算二阶导数。 首先，需要明确二阶偏导数的计算通常是在参数估计过程中，比如当模型函数包含二阶项时，对参数的二阶导数进行求解。例如，如果拟合一个二次函数$y = ax^2 + bx + c$，那么对参数a的二阶导数可能需要计算。但这里的二阶导数可能是指对模型参数的二阶偏导，或者是对数据点的二阶数值导数。 根据引用[3]，在最小二乘问题中，残差的雅可比矩阵是一阶偏导数组成的矩阵，而二阶导数则涉及到Hessian矩阵。例如，在非线性最小二乘中，Hessian矩阵可以用雅可比矩阵的乘积近似，即$H \approx J^T J$，其中J是雅可比矩阵。这可能和用户的问题相关，但用户可能更关注如何显式地计算二阶偏导数。 假设用户有一个模型函数$f(x, \theta)$，其中$\theta$是参数，需要通过最小二乘拟合数据。目标是最小化$\sum (y_i - f(x_i, \theta))^2$。此时，计算目标函数关于参数$\theta$的二阶偏导数，可以用于牛顿法优化或者确定置信区间。例如，对参数$\theta_j$和$\theta_k$的二阶偏导数为$\frac{\partial^2}{\partial \theta_j \partial \theta_k} \sum [y_i - f(x_i, \theta)]^2$，展开后涉及一阶导和二阶导的乘积。 或者，用户可能需要通过离散数据点使用最小二乘法来估计函数的二阶导数。例如，用多项式拟合局部数据点，然后对多项式求二阶导数作为原函数的二阶导数估计。比如，在某个点周围取多个点，用二次多项式拟合，二次项的系数乘以2就是二阶导数的估计值。这种情况下，最小二乘用于拟合多项式，进而得到导数。 需要明确这两种情况。可能用户的问题属于后者，即如何用最小二乘拟合来数值计算二阶导数。这种情况下，步骤可能包括：选择拟合点的邻域，构造多项式模型（如二次），使用最小二乘求解多项式系数，然后从系数中提取二阶导数。 例如，考虑一维数据点$(x_i, y_i)$，假设在点$x_0$附近选取若干点，拟合二次函数$y = a(x - x_0)^2 + b(x - x_0) + c$，那么系数$a$的二倍就是二阶导数在$x_0$处的估计值，即$f''(x_0) \approx 2a$。此时，最小二乘法用于求解$a, b, c$，进而得到二阶导数。 如果是这种情况，那么具体的公式推导需要构造设计矩阵，计算正规方程，然后求解系数。例如，对于每个点$(x_i, y_i)$附近的点，构造矩阵$X$，其中每行是$[(x_i - x_0)^2, (x_i - x_0), 1]$，然后解$X^T X \beta = X^T Y$，得到$\beta = (a, b, c)^T$，进而得到二阶导数。 这可能需要一个具体的例子，比如给定一组数据点，用具体的数值演示如何计算二阶导数。例如，取三个点，或者更多点，用最小二乘拟合二次曲线，然后展示二阶导数的计算。 另外，用户的问题可能涉及多变量的二阶偏导数，比如$f(x, y)$的二阶偏导数$\frac{\partial^2 f}{\partial x^2}$，$\frac{\partial^2 f}{\partial x \partial y}$等。这种情况下，可能需要用二维的最小二乘拟合，例如拟合二次曲面，然后从系数中提取二阶偏导数。 例如，拟合模型$z = a x^2 + b y^2 + c xy + d x + e y + f$，那么$\frac{\partial^2 z}{\partial x^2} = 2a$，$\frac{\partial^2 z}{\partial y^2} = 2b$，$\frac{\partial^2 z}{\partial x \partial y} = c$。这时，通过最小二乘拟合得到a、b、c的值，即可得到二阶偏导数。 综上，用户可能需要的是如何通过最小二乘拟合一个局部多项式模型（如一维的二次或二维的二次曲面），然后从拟合的系数中提取二阶偏导数的值。这属于数值微分的方法之一，使用最小二乘来减少噪声的影响，提高估计的稳定性。 接下来，需要整理步骤，写出公式，并给出示例。例如，一维情况下，用三个数据点拟合二次函数，计算二阶导数；或者二维情况下，用多个点拟合二次曲面，计算二阶偏导数。 在公式方面，对于一维情况，目标函数是$\min \sum (y_i - (a x_i^2 + b x_i + c))^2$，解出a、b、c，二阶导数就是2a。对于二维情况，目标函数是$\min \sum (z_i - (a x_i^2 + b y_i^2 + c x_i y_i + d x_i + e y_i + f))^2$，解出系数后，二阶偏导分别为2a、2b、c。 在示例中，可以构造具体的数据点，进行拟合，并展示计算过程。例如，取x=0附近的数据点，如x=-0.1, 0, 0.1，对应的y值假设为某个函数值，用最小二乘拟合二次多项式，得到a的值，从而得到二阶导数。 需要注意的是，最小二乘法在这里是用于拟合局部多项式模型，进而解析地求导，而不是直接计算数值导数。这种方法在存在噪声的数据中更为稳健，因为利用多个点进行拟合可以平滑噪声的影响。 总结步骤： 1. 确定要计算二阶导数的点，选择周围的邻域点。 2. 构建多项式模型（如一维二次，二维二次）。 3. 使用最小二乘法拟合模型参数。 4. 从拟合的系数中提取二阶导数。 在公式推导时，需要写出正规方程，或者直接使用矩阵形式求解。例如，设计矩阵X，参数向量β，响应向量Y，解$(X^T X) \beta = X^T Y$。 最后，给出一个具体的数值例子，比如拟合二维数据点，计算某点的二阶偏导数。 需要确保引用的正确性，比如引用[3]提到雅可比矩阵和残差的导数，可能和Hessian有关联，但用户的问题更偏向于应用最小二乘进行数值导数的估计，而非优化算法中的导数。引用[4]则说明最小二乘法的基本应用，作为曲线拟合的方法，适合这里的场景。 可能的问题点是，用户是否混淆了在最小二乘优化过程中的参数二阶导数（如Hessian矩阵）和用最小二乘拟合来估计函数的二阶导数。需要明确回答的是后者，即如何利用最小二乘拟合函数，进而得到其二阶导数。 因此，回答的结构应该是： - 方法概述：使用局部多项式拟合，通过最小二乘得到系数，提取二阶导数。 - 公式推导：展示多项式模型的正规方程。 - 示例：具体的数据点，拟合过程，结果计算。 同时，生成相关问题，如应用场景、优点、与一阶导数的区别等。</think>### 如何使用最小二乘法计算二阶偏导数？ #### **方法概述** 最小二乘法可通过局部多项式拟合来间接计算二阶偏导数。核心思路是： 1. **选择邻域点**：围绕目标点选取相邻数据点 2. **构建多项式模型**：根据需求选择一维二次函数或二维二次曲面 3. **最小二乘拟合**：解算模型参数 4. **提取二阶导数**：从多项式系数直接推导二阶偏导数 --- #### **公式推导** **1. 一维情况（计算单变量二阶导数）** 假设拟合模型为： $$ y = a x^2 + b x + c $$ 二阶导数为： $$ \frac{d^2 y}{dx^2} = 2a $$ 最小二乘目标函数为： $$ \min \sum_{i=1}^m \left( y_i - (a x_i^2 + b x_i + c) \right)^2 $$ 通过设计矩阵 $X$（每行为 $[x_i^2, x_i, 1]$）和响应向量 $Y$，解正规方程： $$ X^T X \beta = X^T Y \quad \Rightarrow \quad \beta = (a, b, c)^T $$ **2. 二维情况（计算二阶偏导数）** 假设拟合模型为： $$ z = a x^2 + b y^2 + c xy + d x + e y + f $$ 二阶偏导数为： $$ \frac{\partial^2 z}{\partial x^2} = 2a, \quad \frac{\partial^2 z}{\partial y^2} = 2b, \quad \frac{\partial^2 z}{\partial x \partial y} = c $$ 设计矩阵每行为 $[x_i^2, y_i^2, x_i y_i, x_i, y_i, 1]$，同样通过正规方程求解系数[^4]。 --- #### **示例演示** **一维数据示例** 取 $x = [-0.2, -0.1, 0, 0.1, 0.2]$ 处的观测值 $y = [0.04, 0.01, 0, 0.01, 0.04]$（对应 $y = x^2$）： 1. 构建设计矩阵 $X$： $$ X = \begin{bmatrix} 0.04 & -0.2 & 1 \\ 0.01 & -0.1 & 1 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0.01 & 0.1 & 1 \\ 0.04 & 0.2 & 1 \\ \end{bmatrix} \quad Y = \begin{bmatrix} 0.04 \\ 0.01 \\ 0 \\ 0.01 \\ 0.04 \end{bmatrix} $$ 2. 解方程 $X^T X \beta = X^T Y$，得 $a = 1.0$ 3. 二阶导数： $$ \frac{d^2 y}{dx^2} = 2 \times 1.0 = 2.0 $$ --- #### **关键点** - **局部拟合**：需合理选择邻域范围以平衡噪声敏感性与分辨率[^4] - **模型选择**：多项式阶数需至少为二阶才能计算二阶导数 - **误差控制**：最小二乘可通过加权改进抗噪能力[^3]
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