图论(1)-畅通工程

题目描述:

某省调查城镇交通状况,得到现有城镇道路统计表,表中列出了每条道路直接连通的城镇。省政府“畅通工程”的目标是使全省任何两个城镇间都可以实现交通(但不一定有直接的道路相连,只要互相间接通过道路可达即可)。问最少还需要建设多少条道路?

输入:

测试输入包含若干测试用例。每个测试用例的第1行给出两个正整数,分别是城镇数目N ( < 1000 )和道路数目M;随后的M行对应M条道路,每行给出一对正整数,分别是该条道路直接连通的两个城镇的编号。为简单起见,城镇从1到N编号。 
注意:两个城市之间可以有多条道路相通,也就是说
3 3
1 2
1 2
2 1
这种输入也是合法的
当N为0时,输入结束,该用例不被处理。

输出:

对每个测试用例,在1行里输出最少还需要建设的道路数目。

样例输入:
4 2
1 3
4 3
3 3
1 2
1 3
2 3
5 2
1 2
3 5
999 0
0
样例输出:
1
0
2
998
#include<stdio.h>
#include<stdlib.h>
using namespace std;
#define N 100
int Tree[N]; //用来存储i的父节点
int findroot(int x) //查找某点根节点
{
	if(Tree[x]==-1) return x;
	else{
		int tmp=findroot(Tree[x]); //递归查找
		Tree[x]=tmp;            //路径压缩,将根节点变为他的父节点,压缩路径
		return tmp;
	}
}

int main()
{
	int n,m;
	int a,b;
	int x,y,i;
	while(scanf("%d %d",&n,&m)!=EOF)
	{
		for(i=1;i<=n;i++)  //初始化,当点孤立时,根节点为其本身
			Tree[i]=-1;
		if(m=0)
			printf("0\n");
		for( i=0;i<m;i++)
		{
			scanf("%d %d",&a,&b);
			x=findroot(a);
			y=findroot(b);
			if(x!=y) Tree[x]=y;  //如果不相等,则说明在不同集合,因为他们之间有一条道路,所以将两个集合合并
		}
		int ans=0;
		for( i=1;i<=n;i++){
			if(Tree[i]==-1)
				ans++;
		}
		printf("%d\n",ans-1);
	}
	return 0;
}


<think>好的,我现在需要帮用户解决关于PTA畅通工程最低成本建设的问题,特别是使用最小生成树算法。首先,用户提到了PTA题目中的最低成本建设,这通常涉及图论中的最小生成树(MST)问题。根据引用[1]和[3],参考答案中使用了Kruskal算法,而题目要求计算全地区畅通的最低成本,这确实是最小生成树的典型应用。 首先,我得确认用户的问题核心:如何应用最小生成树算法来解决畅通工程的最低成本问题。根据引用中的信息,Kruskal算法被提到,所以可能需要详细解释该算法的步骤,并结合题目具体要求进行分析。 接下来,我要考虑用户可能的背景。他们可能正在准备数据结构考试或编程题,比如PTA平台上的题目。因此,解题思路需要清晰,步骤明确,可能还需要代码示例。但根据用户的问题,他们更关注算法思路而不是具体代码,不过引用[2]和[4]提到了编程中的注意事项,比如输入处理和Dijkstra算法的实现,这可能与用户的问题相关,但当前问题聚焦于MST,所以应重点在Kruskal和Prim算法。 然后,我需要整理解题步骤。通常,解决这类问题需要以下步骤:1. 将城镇抽象为图的顶点,道路成本作为边的权重。2. 确定是否需要处理已修建的道路(引用[3]提到道路是否已修通的状态)。已修的道路成本可能视为0或直接连接,这会影响算法的实现。3. 选择Kruskal或Prim算法来构建最小生成树,计算总成本。 根据引用[1],Kruskal算法通过选择权重最小的边,避免环路,直到连接所有顶点。而引用[3]的问题中可能包含已存在的道路,这些道路可能不需要再计算成本,因此在构建边集时需要过滤已建成的道路,或者将其权重设为0。 然后,我需要考虑如何将问题转化为算法步骤。例如,输入处理:如何读取城镇数量、边的信息(包括成本和状态)。对于已建成的道路,可能在构建边的时候直接合并两个顶点,或者将其成本不计入总成本。这会影响最小生成树的构建方式,可能需要使用并查集结构来处理连通性,尤其是在Kruskal算法中。 另外,引用[5]中的二叉搜索树判断可能与当前问题无关,但其他引用中的算法思路可能辅助理解。例如,Dijkstra算法用于最短路径,但这里是最小生成树,所以应区分两者的不同。 接下来,需要详细说明Kruskal算法的应用步骤,包括边的排序、并查集的使用,以及如何处理已存在的边。例如,在读取每条道路时,如果已经修通,则直接将两个顶点合并到同一集合中,避免形成环路,并且不增加成本;对于未修的道路,则将其加入边列,按成本排序,后续按Kruskal算法处理。 可能的代码结构包括:定义并查集结构,排序边,遍历边并选择最小成本的边,同时检查是否形成环路。最后统计总成本。 同时,需要注意输入输出的格式,如引用[2]中提到的输入处理问题,可能需要注意空格或其他分隔符,但用户当前问题更关注算法思路,所以这部分可能不需要详细展开,但需要提醒在实现时注意输入格式。 总结解题思路:将问题建模为图,处理已存在的边,应用Kruskal或Prim算法计算最小生成树的总权重,注意处理已修建道路的情况,可能将其视为成本0或直接连通,从而影响最终的生成树构建。 最后,生成相关问题时要围绕MST算法、优化、应用场景等,确保问题有助于用户深入理解。</think>### PTA畅通工程最低成本建设解题思路 #### 核心算法选择 该问题属于典型的最小生成树(MST)应用场景,推荐使用以下两种算法: 1. **Kruskal算法**:按边权升序选择边,避免环路(使用并查集检测)[^1] 2. **Prim算法**:从顶点出发逐步扩展最小边集合 #### 关键解题步骤 1. **数据建模** -城镇抽象为顶点(顶点数$n$) - 道路抽象为带权边(边权=建设成本) - 已建道路处理:将其边权视为0或直接连通[^3] 2. **算法实现流程(以Kruskal为例)** ```python class UnionFind: def __init__(self, size): self.parent = list(range(size+1)) # 顶点从1开始编号 def find(self, x): while self.parent[x] != x: x = self.parent[x] return x def union(self, x, y): root_x = self.find(x) root_y = self.find(y) if root_x != root_y: self.parent[root_y] = root_x ``` 3. **核心处理逻辑** ```python def minimum_cost(n, edges): uf = UnionFind(n) total_cost = 0 edges.sort(key=lambda x: x[2]) # 按成本升序排列 for u, v, cost, built in edges: if built == 1: # 已建道路直接连通 uf.union(u, v) else: if uf.find(u) != uf.find(v): uf.union(u, v) total_cost += cost # 检查连通性 root = uf.find(1) for i in range(2, n+1): if uf.find(i) != root: return -1 # 无法连通 return total_cost ``` #### 复杂度分析 - 时间复杂度:$O(ElogE)$(主要来自边排序) - 空间复杂度:$O(V+E)$ #### 特殊处理技巧 1. **已建道路处理**:在初始化并查集时直接合并已连通顶点 2. **连通性验证**:最终检查所有顶点是否属于同一连通分量 3. **输入优化**:注意道路数据的去重处理(如题目给出双向边)
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