网络流—最大流

       第一次学习网络流，发表一下自己的看法。

       在这篇博文当中主要讲一讲3个最大流算法：EK算法，Dinic算法和SAP算法。

一、EK（Edmonds Karp）算法

       首先，假如所有边上的流量都没有超过容量(不大于容量)，那么就把这一组流量，或者说，这个流，称为一个可行流。一个最简单的例子就是，零流，即所有的流量都是0的流。

       我们就从这个零流开始考虑，假如有这么一条路，这条路从源点开始一直一段一段的连到了汇点，并且，这条路上的每一段都满足流量<容量，注意，是严格的<,而不是<=。那么，我们一定能找到这条路上的每一段的(容量-流量)的值当中的最小值Δ。我们把这条路上每一段的流量都加上这个Δ，一定可以保证这个流依然是可行流，这是显然的。
这样我们就得到了一个更大的流，他的流量是之前的流量+Δ，而这条路就叫做增广路。

       我们不断地从起点开始寻找增广路，每次都对其进行增广，直到源点和汇点不连通，也就是找不到增广路为止。当找不到增广路的时候，当前的流量就是最大流，这个结论非常重要。

       寻找增广路的时候我们可以简单的从源点开始做bfs，并不断修改这条路上的Δ量，直到找到源点或者找不到增广路。
       这里要先补充一点，在程序实现的时候，我们通常只是用一个c数组来记录容量，而不记录流量，当流量+1的时候，我们可以通过容量-1来实现，以方便程序的实现。

       但事实上并没有这么简单，上面所说的增广路还不完整，比如说下面这个网络流模型。  

       

       我们第一次找到了1-2-3-4这条增广路，这条路上的delta值显然是1。于是我们修改后得到了下面这个流。（图中的数字是容量）。

       

       这时候(1,2)和(3,4)边上的流量都等于容量了，我们再也找不到其他的增广路了，当前的流量是1。

       但这个答案明显不是最大流，因为我们可以同时走1-2-4和1-3-4，这样可以得到流量为2的流。

       那么我们刚刚的算法问题在哪里呢？问题就在于我们没有给程序一个”后悔”的机会，应该有一个不走(2-3-4)而改走(2-4)的机制。那么如何解决这个问题呢？回溯搜索吗？那么我们的效率就上升到指数级了。

       而这个算法神奇的利用了一个叫做反向边的概念来解决这个问题。即每条边(I,j)都有一条反向边(j,i)，反向边也同样有它的容量。

       我们直接来看它是如何解决的：

       在第一次找到增广路之后，在把路上每一段的容量减少Δ的同时，也把每一段上的反方向的容量增加Δ。即在Dec(c[x,y],Δ)的同时，inc(c[y,x],Δ)。

       我们来看刚才的例子，在找到1-2-3-4这条增广路之后，把容量修改成如下。

       

       这时再找增广路的时候，就会找到1-3-2-4这条可增广量，即delta值为1的可增广路。将这条路增广之后，得到了最大流2。

       

       那么，这么做为什么会是对的呢？我来通俗的解释一下吧。

       事实上，当我们第二次的增广路走3-2这条反向边的时候，就相当于把2-3这条正向边已经是用了的流量给”退”了回去，不走2-3这条路，而改走从2点出发的其他的路也就是2-4。（有人问如果这里没有2-4怎么办，这时假如没有2-4这条路的话，最终这条增广路也不会存在，因为他根本不能走到汇点）同时本来在3-4上的流量由1-3-4这条路来”接管”。而最终2-3这条路正向流量1，反向流量1，等于没有流量。

       这就是这个算法的精华部分，利用反向边，使程序有了一个后悔和改正的机会。而这个算法和我刚才给出的代码相比只多了一句话而已。

       例题：POJ1273。

Code:

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<cstdlib>
#include<cmath>
#include<algorithm>
#include<queue>
#define inf 10000000
#define N 205
using namespace std;
int r[N][N],flag[N],pre[N],n,m;
bool bfs(int s,int t)
{
	int p;
	queue<int >Q;
	memset(pre,-1,sizeof(pre));
	memset(flag,false,sizeof(flag));
	pre[s]=s;
	flag[s]=true;
	Q.push(s);
	while(!Q.empty())
	{
		p=Q.front();
		Q.pop();
		for(int i=1;i<=n;i++)
			if(r[p][i]>0&&!flag[i])
			{
				pre[i]=p;
				flag[i]=true;
				if(i==t)return true;
				Q.push(i);
			}
	}
	return false;
}
int EK(int s,int t)
{
	int flow=0,d;
	while(bfs(s,t))
	{
		d=inf;
		for(int i=t;i!=s;i=pre[i])
			d=d<r[pre[i]][i]?d:r[pre[i]][i];
		for(int i=t;i!=s;i=pre[i])
		{
			r[pre[i]][i]-=d;
			r[i][pre[i]]+=d;
		}
		flow+=d;
	}
	return flow;
}
int main()
{
	while(~scanf("%d%d",&m,&n))
	{
		memset(r,0,sizeof(r));
		for(int i=1;i<=m;i++)
		{
			int u,v,w;
			scanf("%d%d%d",&u,&v,&w);
			r[u][v]+=w;
		}
		printf("%d\n",EK(1,n));
	}
}

二、Dinic算法（百科讲解）

       Dinic算法是网络流最大流的优化算法之一，每一步对原图进行分层，然后用DFS求增广路。Dinic算法最多被分为n个阶段，每个阶段包括建层次网络和寻找增广路两部分。

       Dinic算法的思想是分阶段地在层次网络中增广。它与最短增广路算法不同之处是：最短增广路每个阶段执行完一次BFS增广后，要重新启动BFS从源点Vs开始寻找另一条增广路;而在Dinic算法中，只需一次BFS过程就可以实现多次增广。

层次图

       层次图，就是把原图中的点按照点到源的距离分“层”，只保留不同层之间的边的图。

算法流程

       1、根据残量网络计算层次图。

       2、在层次图中使用DFS进行增广直到不存在增广路。

       3、重复以上步骤直到无法增广。

时间复杂度

       因为在Dinic的执行过程中，每次重新分层，汇点所在的层次是严格递增的，而n个点的层次图最多有n层，所以最多重新分层n次。在同一个层次图中，因为每条增广路都有一个瓶颈，而两次增广的瓶颈不可能相同，所以增广路最多m条。搜索每一条增广路时，前进和回溯都最多n次，所以这两者造成的时间复杂度是O(nm)；而沿着同一条边(i,j)不可能枚举两次，因为第一次枚举时要么这条边的容量已经用尽，要么点j到汇不存在通路从而可将其从这一层次图中删除。综上所述，Dinic算法时间复杂度的理论上界是O(n^2*m)。

       

       还是POJ1273用Dinic实现。

Code：

#include<iostream>
#include<cmath>
#include<cstring>
#include<cstdlib>
#include<algorithm>
#include<cstdio>
#include<queue>
#define inf 100000000
#define N 10005
using namespace std;
int s,t,n,m,tot;
struct node
{
    int next,vet,cap;
}edge[N];
int head[N],deep[N];
void add(int x,int y,int z)
{
    edge[++tot].vet=y;
    edge[tot].next=head[x];
    edge[tot].cap=z;
    head[x]=tot;
}
int bfs()
{
    memset(deep,0,sizeof(deep));
    queue<int> Q;
    while(!Q.empty())Q.pop();
    deep[s]=1;
    Q.push(s);
    do
    {
        int u=Q.front();
        Q.pop();
        for(int i=head[u];i!=-1;i=edge[i].next)
        {
            if(edge[i].cap>0&&deep[edge[i].vet]==0)
            {
                deep[edge[i].vet]=deep[u]+1;
                Q.push(edge[i].vet);
            }
        }
    }while(!Q.empty());
    if(deep[t]!=0)return 1;else return 0;
}
int dfs(int u,int dist)
{
    if(u==t)return dist;
    for(int i=head[u];i!=-1;i=edge[i].next)
    {
        if((deep[edge[i].vet]==deep[u]+1)&&(edge[i].vet!=0))
        {
            int d=dfs(edge[i].vet,min(dist,edge[i].cap)); 
            if(d>0) 
            {
                edge[i].cap-=d;
                edge[i^1].cap+=d;
                return d;
            }
        }
    }
    return 0;
}
int dinic()
{
    int ans=0;
    while(bfs())
        while(int d=dfs(s,inf))ans+=d;
    printf("%d\n",ans);
}
int main()
{
    while(~scanf("%d%d",&m,&n))
    {
    	s=1;t=n;
    	int x,y,z;
        tot=0;
    	memset(head,-1,sizeof(head));
    	memset(edge,0,sizeof(edge));
    	for(int i=0;i<m;i++)
    	{
        	scanf("%d%d%d",&x,&y,&z);
        	add(x,y,z);
        	add(y,x,0);
    	}
    	dinic();
    }
    return 0;
}

三、SAP算法（未完待续）