（网络流）最大流复习

今天是2017/5/10,DCDCBigBig的第三篇博文

这段时间先把图论的一些算法复习一下，过段时间再搞数据结构吧。。。

最大流

基本概念

最大流问题（Maximum Flow Problem）是一种组合最优化问题，是网络流的基础。把问题抽象成一个有向图，从源点到汇点的每一条边都有一个最大容量，指这条边可以流过的流量最大值。问题要求的就是从源点到汇点的最大流量。注意和最长路的区别在于，它的流量可以通过多个路径流到汇点。
在求解问题之前，我们先来认识一些概念；
容量网络：我们刚才说的有向图G，即每条边都有一个最大容量的网络；
弧：就是网络中的边；
弧分四类：（设有一条弧流量为h（u，v），最大容量为c）
1，饱和弧，即h（u，v）= c；
2，非饱和弧，即h（u，v）< c；
3，非零弧，即h（u，v）< 0;
4，零弧，即h（u，v）= 0；
流量：一条弧实际所流过的流量；
可行流：满足条件1和2的一个网络流f：
1，流量限制，即每条弧的流量不能超过最大容量；
2，平衡条件限制，即每条弧流入的流量一定等于它流出的流量；
（特别地，如果一个网络上所有流量均为0，则称之为零流）
链：即从点u到u1，u1到u2，……，un到v的一条序列，其中每两个相邻的点都要连有一条弧，设L是网络G中一条从源点S到汇点T的链，则约定S到T的方向为正方向，但链中的弧方向不一定要和正方向相同。我们称链中和正方向相同的弧为正向弧，反之为反向弧；
增广路：设f是G中的一个可行流，设L是从S至T的一条链，若：
L中所有正向弧均为非饱和弧，且所有反向弧均为非零弧，
那么这条链就称为f的一条增广路，沿着增广路改进的操作叫做增广；
残留容量：即在当前的可行流中弧h（u，v）的最大容量c减去已流流量f（u，v）的残余流量，记为su（u，v）；
残余网络：即残余容量组成的网络，设残余网络G’，则对于G中的每一条弧h（u，v），若它是一条非饱和弧，则在G’中有一条弧h’（u，v），其最大容量c’（u，v）=c（u，v）-h（u，v），若它是一条非零弧，则在G’中有一条弧h”（v，u），其容量为c（u，v）。

问题求解

解决最大流有很多种解法，如EK、Isap、FF等，不过最有名的（主要是我们神圣的陈老师讲了的）就是dinic算法，我们今天也只介绍这一种，其他的有兴趣的童鞋可以自行百度。

dinic

学习dinic之前，我们先引入一个概念：层次图；
层次图就是分层图，一个点到源点的最短距离就叫做它的“层次”，分层图中“层次”相同的点为一层。建立分层图有一个好，就是同一层的点不可能在同一条链中，这样在找增广路时可以省去很多重复计算。
所以dinic的基本思路就是不断地根据残余网络建立层次图，然后在层次图中dfs找增广路，直到无法增广为止，这样运行速度就会快很多。下面就来看一下具体的解决精髓：反向边

反向边

我们为什么要反向边呢？看下面的一个例子（源点是1，汇点是4）：