【概率与期望】【组合计数】TopCoder SRM 561 Orienteering

本文探讨了在给定树结构中,通过选取特定点集并计算这些点间最短路径的期望长度的问题。利用树形动态规划和组合数学原理,文章详细分析了如何高效计算特定边在路径中出现的概率,以及如何找到最大距离点对的期望贡献。

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题意:

给出一颗树,树上有些选中点CCC,现在随机从中选择一个大小为kkk的子集SSS,计算出一条包含所有SSS中的点的最短路径PPP,求PPP的期望长度。

点数N≤2500,k≤∣C∣≤300N\le2500,k\le |C|\le 300N2500,kC300


分析:

每个SSS中的点在路径PPP第一次被访问的顺序为:
v0,v1,v2……v∣S∣−1v_0,v_1,v_2……v_{|S|-1}v0,v1,v2vS1

性质1:

显然,路径PPP的起点必为v0v_0v0,终点必为v∣S∣−1v_{|S|-1}vS1
并且,PPP是由(v0−>v1),(v1−>v2),(v3−>v4)……(v∣S∣−2−>v∣S∣−1)(v_0->v_1),(v_1->v_2),(v_3->v_4)……(v_{|S|-2}->v_{|S|-1})(v0>v1),(v1>v2),(v3>v4)(vS2>vS1)组成。其中(u−>v)(u->v)(u>v)表示从u到v的最短路径。
证明:因为是第一次出现的顺序,所以若不是最短路径,则最短路径一定更优。

性质2:

对于任意一条边eee,其出现在PPP中的充要条件为:eee分开的两个联通块中,均有点x∈Sx\in SxS
证明略。

性质3:

对于任意一条边e∈Pe\in PeP,其最多出现2次。
证明略。

性质4:

对于任意一条边e∈Pe\in PeP,其出现一次的充要条件为:e∈(v0−>v∣S∣−1)e\in(v_0->v_{|S|-1})e(v0>vS1)
证明:如果把这条路径连上,则形成了一条回路,回路中每条边都一定访问2次。由性质1可得,这条回路从v∣S∣−1v_{|S|-1}vS1回到v0v_0v0的过程中,一定走的是最短路。现在把这条(v∣S∣−1−>v0)(v_{|S|-1}->v_0)(vS1>v0)路径删去,这条路径上的边就只走了一次。

现在,有了这么一堆性质,很容易发现:对于一个固定的SSS(随机出来的大小为k的CCC的子集),其最短路径PPP的长度为:2×∣Es∣−path(a−>b)2\times |E_s|-path(a->b)2×Espath(a>b)
其中EsE_sEs是一定存在于路径PPP上的边的集合(即满足性质2的边的集合)。
path(a−>b)path(a->b)path(a>b)是从aaabbb的最短路。

∣Es∣|E_s|Es是固定的,因此要使得path(a−>b)path(a->b)path(a>b)尽可能大,即(a,b)(a,b)(a,b)SSS中的最远点对。

根据期望的性质,对于这两个部分,可以分开考虑其期望贡献。(即分别算出E(∣Es∣)E(|E_s|)E(Es)E(path(a−>b))E({path(a->b)})E(path(a>b))

计算E(∣Es∣)E(|E_s|)E(Es)

显然要考虑算每条边的贡献。

E(∣Es∣)=∑pe∗1.0E(|E_s|)=\sum p_e*1.0E(Es)=pe1.0pep_epee∈Ese\in E_seEs的概率)

考虑eee两侧的联通块AAA,BBB

显然p(e̸∈Es)=(∣C∣∣A∣)+(∣C∣∣B∣)(∣C∣∣S∣)p(e\not\in E_s)=\frac {\left( _{|C|}^{|A|}\right)+\left( _{|C|}^{|B|}\right)} {\left( _{|C|}^{|S|}\right)}p(e̸Es)=(CS)(CA)+(CB)

那么p(e∈Es)=1−(∣C∣∣A∣)+(∣C∣∣B∣)(∣C∣∣S∣)p(e\in E_s)=1-\frac {\left( _{|C|}^{|A|}\right)+\left( _{|C|}^{|B|}\right)} {\left( _{|C|}^{|S|}\right)}p(eEs)=1(CS)(CA)+(CB)

所以,可以通过计算eee两侧被选中点的个数,计算eee出现在EsE_sEs中的概率,

具体方法可以利用树形DP,计算组合数复杂度为O(K)O(K)O(K)。这部分总复杂度控制在O(NK)O(NK)O(NK)左右即可。

计算E(path(a−>b))E(path(a->b))E(path(a>b))

显然,如果path(a−>b)path(a->b)path(a>b)有贡献,那么path(a−>b)path(a->b)path(a>b)必然是EsE_sEs所构成的子树的直径。

根据直径的经典性质:(a->b)是直径的充要条件为∀v∈S,满足len(v,a)&lt;len(a,b),len(v,b)&lt;len(a,b)\forall v\in S,满足len(v,a)&lt;len(a,b),len(v,b)&lt;len(a,b)vSlen(v,a)<len(a,b),len(v,b)<len(a,b)

利用这个性质,我们可以直接枚举所有满足这个条件的点集F(F⊂C)F(F\sub C)FFC

E(path(a−&gt;b))=len(a,b)∗(∣F∣∣S∣)(∣C∣∣S∣)E(path(a-&gt;b))=len(a,b)*\frac {\left( _{|F|}^{|S|}\right)} {\left( _{|C|}^{|S|}\right)}E(path(a>b))=len(a,b)(CS)(FS)

可以用N次bfs,预处理出来每两点之间的最短距离,然后枚举的复杂度是O(∣C∣3)O(|C|^3)O(C3),可以接受。


#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#include<cmath>
#include<iostream>
#include<vector>
#include<string>
#define SF scanf
#define PF printf
#define MAXN 2510
#define MAXC 310
using namespace std;
vector<string> s;
int n,m,tot,sum,totC,K;
vector<int> C;
vector<int> a[MAXN];
int dist[MAXC][MAXC];
int w[6][4]={{0,1},{1,0}};
double count(int x,int y){
	double ans=1;
	for(int i=0;i<K;i++)
		ans=ans*1.0*(x-i)/(1.0*(y-i));
	return ans;
}
pair<int,int> l[MAXN];
bool vis[MAXN];
int id[MAXN];
int dfs(int x,int fa){
	int res=(id[x]>0);
	for(int i=0;i<int(a[x].size());i++){
		int u=a[x][i];
		if(u==fa)
			continue;
		res+=dfs(u,x);	
	}
	return res;
}
double solve_edge(){
	double res=0;
	for(int i=1;i<=m;i++){
		int x=l[i].first;
		int y=l[i].second;
		int s1=dfs(x,y);
		int s2=totC-s1;	
		res+=1.0;
		if(s1>=K)
			res-=count(s1,totC);
		if(s2>=K)
			res-=count(s2,totC);
	}
}
bool bigger(int x,int y,int i,int j){
	if(i>j)
		swap(i,j);
	if(dist[x][y]!=dist[i][j])
		return dist[x][y]>dist[i][j];
	if(x!=i)
		return x>i;
	return y>j;	
}
double solve_road(){
	double res=0;
	for(int i=1;i<=totC;i++)
		for(int j=i+1;j<=totC;j++){
			int len=dist[i][j];
			int F=0;
			for(int k=1;k<=n;k++)
				if(k!=i&&k!=j&&bigger(i,j,k,i)&&bigger(i,j,k,j))
					F++;
			if(F>=K-2)
				res+=double(len)*count(F+2,totC)*double(K*(K-1))/double((F+2)*(F+1));
			PF("{%lf}\n",res);
		}
	return res;
}
void add_edge(int x,int y){
	l[++sum]=make_pair(x,y);
	a[x].push_back(y);
	a[y].push_back(x);
}
void dfs(int x,int rt,int len){
	vis[x]=1;
	if(id[x]!=0)
		dist[rt][id[x]]=len;
	for(int i=0;i<int(a[x].size());i++)
		if(vis[a[x][i]]==0)
			dfs(a[x][i],rt,len+1);
}
int main(){
	SF("%d%d",&n,&m);
	s.resize(n);
	for(int i=0;i<n;i++)
		cin>>s[i];
	SF("%d",&K);
	for(int i=0;i<n;i++)
		for(int j=0;j<m;j++){
			if(s[i][j]!='#')
				tot++;
			else
				continue;
			if(s[i][j]=='*'){
				C.push_back(i*m+j+1);
				id[i*m+j+1]=C.size();
			}
			for(int k=0;k<2;k++){
				int i1=i+w[k][0];
				int j1=j+w[k][1];
				if(i1>=0&&j1>=0&&i1<n&&j1<m&&s[i1][j1]!='#')
					add_edge(i*m+j+1,i1*m+j1+1);
			}
		}
	totC=C.size();
	memset(dist,0x3f,sizeof dist);
	for(int i=0;i<totC;i++){
		memset(vis,0,sizeof vis);
		dfs(C[i],i+1,0);
	}
	for(int k=1;k<=totC;k++)
		for(int i=1;i<=totC;i++)
			for(int j=1;j<=totC;j++)
				dist[i][j]=min(dist[i][j],dist[i][k]+dist[k][j]);
	n=tot;
	m=sum;
	double x=solve_edge();
	double y=solve_road();
	PF("%lf",2.0*x-y);
}
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