【线段树】Fafa and Array

题意：

给出一个长为N的序列，需要支持两种操作：
1、求出在序列中某个位置加上x后，使得

$$\sum_{i=1}^{i<n}|a_{i+1}-a_{i}|$$ 尽量大，并求出最大值。
2、将区间$a_l,a_{l+1},a_{l+2}……a_r$均加上x

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分析：

这道题是用最优性来满足正确性的典型。

首先，我们考虑根据趋势，分为三种情况：
$1.a_{i-1}\leq a_i\leq a_{i+1}$或$1.a_{i+1}\leq a_i\leq a_{i-1}$
这种情况情况下，
如果$max(a_{i-1},a_{i+1})-a_i\geq x$，那么在这个位置加x是不会对答案有影响的。
如果不然，那么答案就会加上:$x+x-2\times (max(a_{i-1},a_{i+1})-a_i)$在这种情况下，答案一定会得到正影响。

$2.a_{i-1}\geq a_i \leq a_{i+1}$
在这种情况下，如果要在这个点加x，是有可能为负数影响的，我们分析一下：
$(我们假定a_{i-1}\leq a_{i+1})$

如果$a_i+x\leq a_{i-1},a_{i+1}$
那么在这里加x，影响是$-2\times x$，为负

如果$a_{i-1}\leq a_i+x\leq a_{i+1}$
在这里加x，影响是：
$x-（x+a_i-a_{i+1}-(a_{i+1}-a_i)）=2\times （a_i-a_{i+1}）$也为负。

如果$a_i+x\geq a_{i-1},a_{i+1}$
那么在这里加x,影响是$2\times x-2\times(a_{i+1}-a_i)-2\times (a_{i-1}-a_i)$正负均可能。

$3.a_{i-1},a_{i+1}\leq a_i$
在这种情况下，在这个点加x，那么影响为$2\times x$，始终为正且最大。

仔细观察我们可能为正的三个式子：
$1. \space 2\times x-2\times (max(a_{i-1},a_{i+1})-a_i)$
$2. \space 2\times x-2\times(a_{i+1}-a_i)-2\times (a_{i-1}-a_i)$
$3. \space 2\times x$
很容易总结出，这三个式子都可以表示为：
$2\times x -max(0,a_{i-1}-a_i)-max(0,a_{i+1}-a_i)$
这样一来，我们可以通过维护$max(0,a_{i-1}-a_i)+max(0,a_{i+1}-a_i)$的最小值，来得到对答案的影响。

有的小朋友就会问了，那么影响为负的情况怎么办呢？那两种式子不能表示为这种形式啊？
其实很容易发现，2类情况不可能充满一个大于1的区间，即：一个大于1的区间不可能全为波谷。
又因为另外两种情况答案均不为负，所以我们可以保证在大于1的区间内，一定不会造成负影响。（这里就是我个人认为这道题最巧妙的一点，虽然其本身很显然，但这种用最优性来保证正确性的思考方式很难得一见）

那么我们只需要对区间大小分类讨论：若区间大小为1，就只能在那个点加x，手动得到答案。
如区间大小不为1，就可以按照我们维护的值来求答案。

差点忘了还有修改操作：
很容易发现，其实如果在一个区间内均加上一个值，那么区间内部的差是不会影响的，因此我们只需要考虑两个端点即可，说白了这里的修改其实只是单点修改。

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#include<cmath>
#define SF scanf
#define PF printf
#define MAXN 100010
#define INF 1e18
using namespace std;
long long tree[MAXN*4],ans;
int n,m;
long long a[MAXN];
long long absx(long long x){
    return x>0?x:-x;
}
void build(int id,int l,int r){
    if(l==r){
        ans+=absx(a[l]);
        if(l!=1)
            tree[id]=max(0ll,-a[l-1])+max(0ll,a[l]);
        return ;
    }
    int mid=(l+r)>>1;
    build(id<<1,l,mid);
    build(id<<1|1,mid+1,r);
    tree[id]=min(tree[id<<1],tree[id<<1|1]);
    //PF("[%d %d %lld]",l,r,tree[id]);
}
void add(int id,int l,int r,int pos,long long x){
    if(l==r){
        ans-=absx(a[l]);
        a[l]+=x;
        ans+=absx(a[l]);
        //PF("[%lld]",ans);
        if(pos>1)
            tree[id]=max(0ll,-a[l-1])+max(0ll,a[l]);
        if(x!=0&&pos<n-1)
            add(1,1,n-1,pos+1,0);
        return ;
    }
    int mid=(l+r)>>1;
    if(pos<=mid)
        add(id<<1,l,mid,pos,x);
    else
        add(id<<1|1,mid+1,r,pos,x);
    tree[id]=min(tree[id<<1],tree[id<<1|1]);
}
long long query(int id,int l,int r,int l1,int r1){
    if(l>=l1&&r<=r1)
        return tree[id];
    int mid=(l+r)>>1;
    long long res=INF;
    if(l1<=mid)
        res=min(res,query(id<<1,l,mid,l1,r1));
    if(r1>mid)
        res=min(res,query(id<<1|1,mid+1,r,l1,r1));
    return res;
}
int main(){
    int tag,l,r;
    long long x;
    SF("%d",&n);
    for(int i=1;i<=n;i++)
        SF("%d",&a[i]);
    for(int i=1;i<n;i++)
        a[i]=a[i+1]-a[i];
    build(1,1,n-1);
    SF("%d",&m);
    for(int i=1;i<=m;i++){
        SF("%d%d%d%lld",&tag,&l,&r,&x);
        if(tag==1){
            if(l==r){
                if(l==1)
                    PF("%lld\n",ans-absx(a[1])+absx(a[1]-x));
                else if(l==n)
                    PF("%lld\n",ans-absx(a[n-1])+absx(a[n-1]+x));
                else
                    PF("%lld\n",ans-absx(a[l-1])+absx(a[l-1]+x)-absx(a[l])+absx(a[l]-x));
            }
            else{
                long long res=max(0ll,2*x-2*query(1,1,n-1,max(2,l),r));
                //PF("[%lld]",2*x-2*query(1,1,n-1,max(2,l),r));
                if(l==1)
                    res=max(res,-absx(a[1])+absx(a[1]-x));
                if(r==n)
                    res=max(res,-absx(a[n-1])+absx(a[n-1]+x));
                PF("%lld\n",ans+res);
            }
        }
        else{
            if(l!=1)
                add(1,1,n-1,l-1,x);
            if(r!=n)
                add(1,1,n-1,r,-x);
        }
        //PF("[%lld]",ans);
    }
}