【前端】自学基础算法 -- 25.动态规划-01背包问题

动态规划-01背包问题

简介

动态规划（Dynamic Programming，简称 DP）是一种解决复杂问题的方法，它将问题分解为更小、更简单的子问题，并存储这些子问题的解，以避免重复计算。动态规划通常用于优化问题，如求最大值、最小值或计数问题。

动态规划的基本思想是将大问题分解为小问题，并从小问题开始解决，逐步构建到原问题的解。具体步骤如下：

1. 定义状态：明确问题的解是什么，并定义状态变量。
2. 建立状态转移方程：根据问题的性质，建立状态之间的递推关系。
3. 初始化状态：确定初始状态或边界条件。
4. 计算顺序：确定计算顺序，通常是从边界条件开始，逐步计算到最终状态。
5. 返回结果：根据计算结果返回最终答案。

01背包问题：
给定 n 个物品和一个容量为 W 的背包，每个物品都有自己的重 w 和价值 v。
问: 如何选择物品放入背包，使得背包内物品的总价值最大，同时不超过背包的容量。

实现方法

/**
 * 01背包问题
 * 给定 n 个物品和一个容量为 W 的背包，每个物品都有自己的重 w 和价值 v。
 * 问如何选择物品放入背包，使得背包内物品的总价值最大，同时不超过背包的容量。
 * @param {*} weights
 * @param {*} values
 * @param {*} capacity
 * @returns
 */

// 定义函数 knapSack，参数包括物品重量数组 weights，物品价值数组 values，以及背包容量 capacity
function knapSack(weights, values, capacity) {
  // 获取物品数量
  var n = values.length
  // 初始化一个二维数组 T，用于存储子问题的解
  var T = []

  // 遍历每个物品
  for (let i = 0; i < n; i++) {
    // 为当前物品初始化一个行
    T[i] = []
    // 遍历每个可能的背包容量
    for (let j = 0; j <= capacity; j++) {
      // 如果背包容量为0，则最大价值为0
      if (j === 0) {
        T[i][j] = 0
        continue
      }
      // 如果当前物品重量大于背包容量，则不能选择当前物品
      if (j < weights[i]) {
        // 如果是第一个物品，则最大价值为0
        if (i === 0) {
          T[i][j] = 0
        } else {
          // 否则，最大价值为不选择当前物品时的最大价值
          T[i][j] = T[i - 1][j]
        }
        continue
      }
      // 如果是第一个物品且背包容量可以容纳该物品，则最大价值为该物品的价值
      if (i === 0) {
        T[i][j] = values[i]
      } else {
        // 否则，最大价值为选择当前物品或不选择当前物品时的最大价值
        T[i][j] = Math.max(values[i] + T[i - 1][j - weights[i]], T[i - 1][j])
      }
    }
  }

  // 返回最后一个物品在背包容量为 capacity 时的最大价值
  return T[n - 1][capacity]
}

// 定义物品重量和价值数组，以及背包容量
var weights = [2, 3, 4]
var values = [3, 4, 5]
var capacity = 5

// 调用 knapSack 函数并打印结果
console.log(knapSack(weights, values, capacity)) // 输出: 7