中国剩余定理初学整合

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本文介绍了中国剩余定理（Chinese Remainder Theorem, CRT），通过实例阐述了如何解决非互素的同余方程组。讨论了如何通过两两合并的思想求解不互素的同余方程，并提供了相关的编程题解和代码实现，帮助读者深入理解并应用中国剩余定理。" 84061935,7436319,正则表达式完全解析：从入门到精通,"['正则表达式', '编程', '字符串处理']

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

转自数论大神ACdreamer：http://blog.youkuaiyun.com/acdreamers/article/details/8050018

通俗点解释中国剩余定理：

找出所有整数 x，使其被 3,5 和 7 除时，余数分别为 2,3 和 2。
x = 23 + 105k, k∈Z

中国剩余定理（CRT）的表述如下

设正整数两两互素，则同余方程组

有整数解。并且在模下的解是唯一的，解为

其中，而为模的逆元。

代码：

int CRT(int a[],int m[],int n)
{
    int M = 1;
    int ans = 0;
    for(int i=1; i<=n; i++)
        M *= m[i];
    for(int i=1; i<=n; i++)
    {
        int x, y;
        int Mi = M / m[i];
        extend_Euclid(Mi, m[i], x, y);
        ans = (ans + Mi * x * a[i]) % M;
    }
    if(ans < 0) ans += M;
    return ans;
}

题目：http://poj.org/problem?id=1006

题意：人自出生起就有体力，情感和智力三个生理周期，分别为23，28和33天。一个周期内有一天为峰值，在这一

天，人在对应的方面（体力，情感或智力）表现最好。通常这三个周期的峰值不会是同一天。现在给出三个日

期，分别对应于体力，情感，智力出现峰值的日期。然后再给出一个起始日期，要求从这一天开始，算出最少

再过多少天后三个峰值同时出现。

#include <iostream>
#include <string.h>
#include <stdio.h>

using namespace std;

int a[4], m[4];

void extend_Euclid(int a, int b, int &x, int &y)
{
    if(b == 0)
    {
        x = 1;
        y = 0;
        return;
    }
    extend_Euclid(b, a % b, x, y);
    int tmp = x;
    x = y;
    y = tmp - (a / b) * y;
}

int CRT(int a[],int m[],int n)
{
    int M = 1;
    int ans = 0;
    for(int i=1; i<=n; i++)
        M *= m[i];
    for(int i=1; i<=n; i++)
    {
        int x, y;
        int Mi = M / m[i];
        extend_Euclid(Mi, m[i], x, y);
        ans = (ans + Mi * x * a[i]) % M;
    }
    if(ans < 0) ans += M;
    return ans;
}

int main()
{
    int p, e, i, d, t = 1;
    while(cin>>p>>e>>i>>d)
    {
        if(p == -1 && e == -1 && i == -1 && d == -1)
            break;
        a[1] = p;
        a[2] = e;
        a[3] = i;
        m[1] = 23;
        m[2] = 28;
        m[3] = 33;
        int ans = CRT(a, m, 3);
        if(ans <= d)
            ans += 21252;
        cout<<"Case "<<t++<<": the next triple peak occurs in "<<ans - d<<" days."<<endl;
    }
    return 0;
}

普通的中国剩余定理要求所有的互素，那么如果不互素呢，怎么求解同余方程组？

这种情况就采用两两合并的思想，假设要合并如下两个方程

那么得到

在利用扩展欧几里得算法解出的最小正整数解，再带入

得到后合并为一个方程的结果为

这样一直合并下去，最终可以求得同余方程组的解。

题目：http://poj.org/problem?id=2891

代码：

#include <iostream>
#include <string.h>
#include <stdio.h>

using namespace std;
typedef long long LL;
const int N = 1005;

LL a[N], m[N];

LL gcd(LL a,LL b)
{
    return b? gcd(b, a % b) : a;
}

void extend_Euclid(LL a, LL b, LL &x, LL &y)
{
    if(b == 0)
    {
        x = 1;
        y = 0;
        return;
    }
    extend_Euclid(b, a % b, x, y);
    LL tmp = x;
    x = y;
    y = tmp - (a / b) * y;
}

LL Inv(LL a, LL b)
{
    LL d = gcd(a, b);
    if(d != 1) return -1;
    LL x, y;
    extend_Euclid(a, b, x, y);
    return (x % b + b) % b;
}

bool merge(LL a1, LL m1, LL a2, LL m2, LL &a3, LL &m3)
{
    LL d = gcd(m1, m2);
    LL c = a2 - a1;
    if(c % d) return false;
    c = (c % m2 + m2) % m2;
    m1 /= d;
    m2 /= d;
    c /= d;
    c *= Inv(m1, m2);
    c %= m2;
    c *= m1 * d;
    c += a1;
    m3 = m1 * m2 * d;
    a3 = (c % m3 + m3) % m3;
    return true;
}

LL CRT(LL a[], LL m[], int n)
{
    LL a1 = a[1];
    LL m1 = m[1];
    for(int i=2; i<=n; i++)
    {
        LL a2 = a[i];
        LL m2 = m[i];
        LL m3, a3;
        if(!merge(a1, m1, a2, m2, a3, m3))
            return -1;
        a1 = a3;
        m1 = m3;
    }
    return (a1 % m1 + m1) % m1;
}

int main()
{
    int n;
    while(scanf("%d",&n)!=EOF)
    {
        for(int i=1; i<=n; i++)
            scanf("%I64d%I64d",&m[i], &a[i]);
        LL ans = CRT(a, m, n);
        printf("%I64d\n",ans);
    }
    return 0;
}

题目：http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=1573

分析：这个题由于数据范围小，那么直接可以通过枚举在这个数的最小公倍数范围内的所有数，找到最小的正整

数解，然后后面的所有解都可以通过这个得到。

代码：

#include <iostream>
#include <string.h>
#include <stdio.h>

using namespace std;
const int N = 25;

int a[N], b[N];

int gcd(int a, int b)
{
    return b ? gcd(b, a % b) : a;
}

int main()
{
    int T;
    cin>>T;
    while(T--)
    {
        int n, m;
        cin>>n>>m;
        for(int i=0; i<m; i++)
            cin>>a[i];
        for(int i=0; i<m; i++)
            cin>>b[i];
        int lcm = 1;
        for(int i=0; i<m; i++)
            lcm = lcm / gcd(lcm, a[i]) * a[i];
        bool f = 1;
        for(int i=1; i<=lcm&&i<=n; i++)
        {
            f = 1;
            for(int j=0; j<m; j++)
            {
                if(i % a[j] != b[j])
                    f = 0;
            }
            if(f)
            {
                printf("%d\n",(n - i) / lcm + 1);
                break;
            }
        }
        if(f == 0)
            printf("0\n");
    }
    return 0;
}

http://972169909-qq-com.iteye.com/blog/1125532
中国剩余定理【孙子定理】详解：

其实就是解方程组：

求res的值
使用中国剩余定理的条件【重要！！！】：
n1，n2，n3……ni 这些数两两互质(互素)！！也就是两两之间的最大公约数是1！！

回到正题：先看一下这个视频，后面的会更好理解！
http://v.youku.com/v_show/id_XMTExNTAzOTIw.html

算法描述：【利用同余的加性和乘性】
令nn = n1×n2×n3×……×ni;
那么也就是说nn是ni的倍数！
所以有：nn/ni是其他n的倍数，不是ni的倍数，而且nn/ni跟ni没有大于1的公约数
【如nn/n2，是n1,n3,n4...的倍数，但不是n2的倍数，而且nn/n2和n2的最大公约数是1 ，因为上面说了这些数两两互质】
既然nn/ni是其他n的倍数，那么nn/ni这个数模其他n【n1,n2...n[i-1],n[i+1]...】的结果肯定是0，为下面利用同余的加性奠定了基础

所以根据视频那种方法
可以先找到x使得：

假设找到这个x了，那么要满足第i个方程，则利用同余的乘性必有：

那么

就是res的一部分，它使得res满足第i个方程
所以利用同余的加性，把满足所有方程的这么一个部分加起来就是求出来的其中一组解了

怎么找x呢？【关键】
∵有重要条件：两两互质
∴nn/ni和ni也互质
∴

【根据上述:使用中国剩余定理的条件】
∴由扩展的【欧几里得】得：

∴两边同时模ni得：

跟上面的式子

对比，发现x = x0
x0怎么求？
不就是利用【扩展欧几里得定理】咯！

另外推荐题目： http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=1930

转自：http://blog.youkuaiyun.com/shanshanpt/article/details/8724769

poj 1006 题的思路不是很难的，可以转化数学式：

现设 num 是下一个相同日子距离开始的天数

p，e，i，d 如题中所设！

那么就可以得到三个式子：( num + d ) % 23 == p； ( num + d ) % 28 == e； ( num + d ) % 33 == i；

p，e，i，d 是我们输入的，那么我们需要求出num即可，为了方便，我们将num+d暂时作为一个整体！令x = num + d；

即：x % 23 == p； x % 28 == e； x % 33 == i；求x

怎么办？这就涉及到所谓的 “ 中国剩余定理 ”( 概念自己google，很easy )

《孙子算经》中有“物不知数”问题：“今有物不知其数，三三数之余二，五五数之余三，七七数之余二，问物几何？”答为“23”。

--------这个就是传说中的“中国剩余定理”。其实题目的意思就是，n % 3 = 2, n % 5 = 3, n % 7 = 2; 问n是多少？

那么他是怎么解决的呢？

看下面：

题目中涉及 3， 5，7三个互质的数、

令：5 * 7 * a % 3 = 1; --------------> a = 2; 即5 * 7 * 2 = 70；

3 * 7 * b % 5 = 1; --------------> b = 1; 即3 * 7 * 1 = 21；

3 * 5 * c % 7 = 1; --------------> c = 1; 即3 * 5 * 1 = 15；

为什么要使余数为1：是为了要求余数2的话，只要乘以2就可以，要求余数为3的话，只要乘以3就可以！

( 因为题目想要n % 3 =2, n % 5 =3, n % 7 =2; )

那么：要使得n % 3 = 2，那么（ 5 * 7 * 2 ）*2 % 3 = 2；( 因为5 * 7 * 2 % 3 = 1 )

同理：要使得n % 5 = 3，那么（ 3 * 7 * 1 ）*3 % 5 = 3；( 因为3 * 7 * 1 % 5 = 1 )

同理：要使得n % 7 = 2，那么（ 3 * 5 * 1 ）* 2 % 7 = 2；( 因为3 * 5 * 1 % 7 = 1 )

那么现在将（ 5 * 7 * 2 ）* 2和（ 3 * 7 * 1 ）* 3和（ 3 * 5 * 1 ）* 2相加会怎么样呢？我们知道

（ 5 * 7 * 2 ）* 2可以被5和7整除，但是%3等于2

（ 3 * 7 * 1 ）* 3可以被3和7整除，但是%5等于3

（ 3 * 5 * 1 ）* 2可以被3和5整除，但是%7等于2

那么即使相加后，%3， 5， 7的情况也还是一样的！

那么就得到一个我们暂时需要的数（ 5 * 7 * 2 ）* 2 +（ 3 * 7 * 1 ）* 3 +（ 3 * 5 * 1 ）* 2 = 233

但不是最小的!所有我们还要 233 % ( 3 * 5 * 7 ) == 23 得解！

/******************************************************************************************************************************************************/

// 以上就是算法解析，貌似讲的不是很清晰，哎，大家见谅咯~

现在看看此题：x % 23 == p； x % 28 == e； x % 33 == i；求x

按照以上算法：

使 33 * 28 * a % 23 = 1，得a = 6； 33 * 28 * 6 = 5544；

使23 * 33 * b % 28 = 1，得b = 19；23 * 33 * 19 = 14421；
使23 * 28 * c % 33 = 1，得c = 2； 23 * 28 * 2 = 1288。

那么x = 5544 * p + 14421 * e + 1288 * i

那么x-d即相差的时间天数！

因为有范围限制，那么(x-d) %= 21252；且如果此时<=0，那么(x-d) += 21252 ，以上都只是为了保证在范围内而已~

AC代码如下：

/* 
  中国剩余定理:出自《孙子算经》 
   
*/  
  
#include<stdio.h>  
  
#define MAX 21252  
  
int main()  
{  
    int p, e, i, d, n, count = 0;  
      
    while( scanf("%d%d%d%d", &p, &e, &i, &d) != EOF )  
    {  
                count++;  
        if(p == -1 && e == -1 && i == -1 && d == -1)  
        {  
            break;  
                }  
  
        n = ( 5544 * p + 14421 * e + 1288 * i - d ) % MAX;  
          
        if( n <= 0 )   // 范围限制   
        {  
            n += 21252;  
                }  
          
        printf("Case %d: the next triple peak occurs in %d days.\n", count, n );  
    }  
    return 0;  
}