转自数论大神ACdreamer:http://blog.youkuaiyun.com/acdreamers/article/details/8050018
通俗点解释中国剩余定理:
找出所有整数 x,使其被 3,5 和 7 除时,余数分别为 2,3 和 2。
x = 23 + 105k, k∈Z
中国剩余定理(CRT)的表述如下
设正整数两两互素,则同余方程组
有整数解。并且在模下的解是唯一的,解为
其中,而
为
模
的逆元。
代码:
int CRT(int a[],int m[],int n)
{
int M = 1;
int ans = 0;
for(int i=1; i<=n; i++)
M *= m[i];
for(int i=1; i<=n; i++)
{
int x, y;
int Mi = M / m[i];
extend_Euclid(Mi, m[i], x, y);
ans = (ans + Mi * x * a[i]) % M;
}
if(ans < 0) ans += M;
return ans;
}
题目:http://poj.org/problem?id=1006
题意:人自出生起就有体力,情感和智力三个生理周期,分别为23,28和33天。一个周期内有一天为峰值,在这一
天,人在对应的方面(体力,情感或智力)表现最好。通常这三个周期的峰值不会是同一天。现在给出三个日
期,分别对应于体力,情感,智力出现峰值的日期。然后再给出一个起始日期,要求从这一天开始,算出最少
再过多少天后三个峰值同时出现。
#include <iostream>
#include <string.h>
#include <stdio.h>
using namespace std;
int a[4], m[4];
void extend_Euclid(int a, int b, int &x, int &y)
{
if(b == 0)
{
x = 1;
y = 0;
return;
}
extend_Euclid(b, a % b, x, y);
int tmp = x;
x = y;
y = tmp - (a / b) * y;
}
int CRT(int a[],int m[],int n)
{
int M = 1;
int ans = 0;
for(int i=1; i<=n; i++)
M *= m[i];
for(int i=1; i<=n; i++)
{
int x, y;
int Mi = M / m[i];
extend_Euclid(Mi, m[i], x, y);
ans = (ans + Mi * x * a[i]) % M;
}
if(ans < 0) ans += M;
return ans;
}
int main()
{
int p, e, i, d, t = 1;
while(cin>>p>>e>>i>>d)
{
if(p == -1 && e == -1 && i == -1 && d == -1)
break;
a[1] = p;
a[2] = e;
a[3] = i;
m[1] = 23;
m[2] = 28;
m[3] = 33;
int ans = CRT(a, m, 3);
if(ans <= d)
ans += 21252;
cout<<"Case "<<t++<<": the next triple peak occurs in "<<ans - d<<" days."<<endl;
}
return 0;
}
普通的中国剩余定理要求所有的互素,那么如果不互素呢,怎么求解同余方程组?
这种情况就采用两两合并的思想,假设要合并如下两个方程
那么得到
在利用扩展欧几里得算法解出的最小正整数解,再带入
得到后合并为一个方程的结果为
这样一直合并下去,最终可以求得同余方程组的解。
题目:http://poj.org/problem?id=2891
代码:
#include <iostream>
#include <string.h>
#include <stdio.h>
using namespace std;
typedef long long LL;
const int N = 1005;
LL a[N], m[N];
LL gcd(LL a,LL b)
{
return b? gcd(b, a % b) : a;
}
void extend_Euclid(LL a, LL b, LL &x, LL &y)
{
if(b == 0)
{
x = 1;
y = 0;
return;
}
extend_Euclid(b, a % b, x, y);
LL tmp = x;
x = y;
y = tmp - (a / b) * y;
}
LL Inv(LL a, LL b)
{
LL d = gcd(a, b);
if(d != 1) return -1;
LL x, y;
extend_Euclid(a, b, x, y);
return (x % b + b) % b;
}
bool merge(LL a1, LL m1, LL a2, LL m2, LL &a3, LL &m3)
{
LL d = gcd(m1, m2);
LL c = a2 - a1;
if(c % d) return false;
c = (c % m2 + m2) % m2;
m1 /= d;
m2 /= d;
c /= d;
c *= Inv(m1, m2);
c %= m2;
c *= m1 * d;
c += a1;
m3 = m1 * m2 * d;
a3 = (c % m3 + m3) % m3;
return true;
}
LL CRT(LL a[], LL m[], int n)
{
LL a1 = a[1];
LL m1 = m[1];
for(int i=2; i<=n; i++)
{
LL a2 = a[i];
LL m2 = m[i];
LL m3, a3;
if(!merge(a1, m1, a2, m2, a3, m3))
return -1;
a1 = a3;
m1 = m3;
}
return (a1 % m1 + m1) % m1;
}
int main()
{
int n;
while(scanf("%d",&n)!=EOF)
{
for(int i=1; i<=n; i++)
scanf("%I64d%I64d",&m[i], &a[i]);
LL ans = CRT(a, m, n);
printf("%I64d\n",ans);
}
return 0;
}
题目:http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=1573
分析:这个题由于数据范围小,那么直接可以通过枚举在这个数的最小公倍数范围内的所有数,找到最小的正整
数解,然后后面的所有解都可以通过这个得到。
代码:
#include <iostream>
#include <string.h>
#include <stdio.h>
using namespace std;
const int N = 25;
int a[N], b[N];
int gcd(int a, int b)
{
return b ? gcd(b, a % b) : a;
}
int main()
{
int T;
cin>>T;
while(T--)
{
int n, m;
cin>>n>>m;
for(int i=0; i<m; i++)
cin>>a[i];
for(int i=0; i<m; i++)
cin>>b[i];
int lcm = 1;
for(int i=0; i<m; i++)
lcm = lcm / gcd(lcm, a[i]) * a[i];
bool f = 1;
for(int i=1; i<=lcm&&i<=n; i++)
{
f = 1;
for(int j=0; j<m; j++)
{
if(i % a[j] != b[j])
f = 0;
}
if(f)
{
printf("%d\n",(n - i) / lcm + 1);
break;
}
}
if(f == 0)
printf("0\n");
}
return 0;
}
http://972169909-qq-com.iteye.com/blog/1125532
中国剩余定理【孙子定理】详解:
其实就是解方程组:

求res的值
使用中国剩余定理的条件【重要!!!】:
n1,n2,n3……ni 这些数两两互质(互素)!!也就是两两之间的最大公约数是1!!
回到正题:先看一下这个视频,后面的会更好理解!
http://v.youku.com/v_show/id_XMTExNTAzOTIw.html
算法描述:【利用同余的加性和乘性】
令nn = n1×n2×n3×……×ni;
那么也就是说nn是ni的倍数!
所以有:nn/ni是其他n的倍数,不是ni的倍数, 而且nn/ni跟ni没有大于1的公约数
【如nn/n2,是n1,n3,n4...的倍数,但不是n2的倍数, 而且nn/n2和n2的最大公约数是1 ,因为上面说了这些数 两两互质 】
既然nn/ni是其他n的倍数,那么nn/ni这个数模其他n【n1,n2...n[i-1],n[i+1]...】的结果肯定是0,为下面利用同余的加性奠定了基础
所以根据视频那种方法
可以先找到x使得:

假设找到这个x了,那么要满足第i个方程,则利用同余的乘性必有:

那么

所以利用同余的加性,把满足所有方程的这么一个部分加起来就是求出来的其中一组解了
怎么找x呢?【关键】
∵有重要条件:两两互质
∴nn/ni和ni也互质
∴

∴由扩展的【欧几里得】得:

∴两边同时模ni得:

跟上面的式子

x0怎么求?
不就是利用【扩展欧几里得定理】咯!
另外推荐题目: http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=1930
转自:http://blog.youkuaiyun.com/shanshanpt/article/details/8724769
poj 1006 题的思路不是很难的,可以转化数学式:
现设 num 是下一个相同日子距离开始的天数
p,e,i,d 如题中所设!
那么就可以得到三个式子:( num + d ) % 23 == p; ( num + d ) % 28 == e; ( num + d ) % 33 == i;
p,e,i,d 是我们输入的,那么我们需要求出num即可,为了方便,我们将num+d暂时作为一个整体!令x = num + d;
即:x % 23 == p; x % 28 == e; x % 33 == i;求x
怎么办?这就涉及到所谓的 “ 中国剩余定理 ”( 概念自己google,很easy )
《孙子算经》中有“物不知数”问题:“今有物不知其数,三三数之余二 ,五五数之余三 ,七七数之余二,问物几何?”答为“23”。
--------这个就是传说中的“中国剩余定理”。 其实题目的意思就是,n % 3 = 2, n % 5 = 3, n % 7 = 2; 问n是多少?
那么他是怎么解决的呢?
看下面:
题目中涉及 3, 5,7三个互质的数、
令:5 * 7 * a % 3 = 1; --------------> a = 2; 即5 * 7 * 2 = 70;
3 * 7 * b % 5 = 1; --------------> b = 1; 即3 * 7 * 1 = 21;
3 * 5 * c % 7 = 1; --------------> c = 1; 即3 * 5 * 1 = 15;
为什么要使余数为1:是为了要求余数2的话,只要乘以2就可以,要求余数为3的话,只要乘以3就可以!
( 因为题目想要n % 3 =2, n % 5 =3, n % 7 =2; )
那么:要使得n % 3 = 2,那么( 5 * 7 * 2 )*2 % 3 = 2;( 因为5 * 7 * 2 % 3 = 1 )
同理: 要使得n % 5 = 3,那么( 3 * 7 * 1 )*3 % 5 = 3;( 因为3 * 7 * 1 % 5 = 1 )
同理:要使得n % 7 = 2,那么( 3 * 5 * 1 )* 2 % 7 = 2;( 因为3 * 5 * 1 % 7 = 1 )
那么现在将( 5 * 7 * 2 )* 2和( 3 * 7 * 1 )* 3和( 3 * 5 * 1 )* 2相加会怎么样呢?我们知道
( 5 * 7 * 2 )* 2可以被5和7整除,但是%3等于2
( 3 * 7 * 1 )* 3可以被3和7整除,但是%5等于3
( 3 * 5 * 1 )* 2可以被3和5整除,但是%7等于2
那么即使相加后,%3, 5, 7的情况也还是一样的!
那么就得到一个我们暂时需要的数( 5 * 7 * 2 )* 2 +( 3 * 7 * 1 )* 3 +( 3 * 5 * 1 )* 2 = 233
但不是最小的!所有我们还要 233 % ( 3 * 5 * 7 ) == 23 得解!
/******************************************************************************************************************************************************/
// 以上就是算法解析,貌似讲的不是很清晰,哎,大家见谅咯~
现在看看此题:x % 23 == p; x % 28 == e; x % 33 == i;求x
按照以上算法:
使 33 * 28 * a % 23 = 1,得a = 6; 33 * 28 * 6 = 5544;
使23 * 33 * b % 28 = 1, 得b = 19;23 * 33 * 19 = 14421;
使23 * 28 * c % 33 = 1, 得c = 2; 23 * 28 * 2 = 1288。
那么x = 5544 * p + 14421 * e + 1288 * i
那么x-d即相差的时间天数!
因为有范围限制,那么(x-d) %= 21252;且如果此时<=0,那么(x-d) += 21252 ,以上都只是为了保证在范围内而已~
AC代码如下:
/*
中国剩余定理:出自《孙子算经》
*/
#include<stdio.h>
#define MAX 21252
int main()
{
int p, e, i, d, n, count = 0;
while( scanf("%d%d%d%d", &p, &e, &i, &d) != EOF )
{
count++;
if(p == -1 && e == -1 && i == -1 && d == -1)
{
break;
}
n = ( 5544 * p + 14421 * e + 1288 * i - d ) % MAX;
if( n <= 0 ) // 范围限制
{
n += 21252;
}
printf("Case %d: the next triple peak occurs in %d days.\n", count, n );
}
return 0;
}