推荐系统中的NDCG

说到NDCG就需要从CG开始说起。

CG（cumulative gain，累计增益）可以用于评价基于打分/评分的个性推荐系统。假设我们推荐k个物品，这个推荐列表的CGk计算公式如下：
$$C{G}_k=\sum _i^{k}re{l}_i$$.
$re{l}_i$ 表示第$k$个物品的相关性或者评分。假设我们共推荐$k$个文档，$re{l}_i$可以是用户对第$i$部电影的评分。

比如豆瓣给用户推荐了五部电影，

$M1,M2,M3,M4,M5,$

该用户对这五部电影的评分分别是

5, 3, 2, 1, 2

那么这个推荐列表的$CG$等于
$C{G}_5=5+3+2+1+2=13.$
$CG$没有考虑推荐的次序，在此基础之后我们引入对物品顺序的考虑，就有了$DCG$(discounted CG)，折扣累积增益。公式如下：

D C G k = ∑ i = 1 k 2 rel i − 1 log ⁡ 2 ( i + 1 ) . DCG_k=\sum_{i=1}^k \frac{2^{\text{rel}_i}-1}{\log_2(i+1)}.