51 NOD 1021 石子归并（二维dp，GarsiaWachs算法）

本文链接：https://blog.youkuaiyun.com/qq_34287501/article/details/77676199

本文介绍了一道经典的算法题“石子归并”，旨在寻找合并多堆石子的最优顺序以达到最小化合并成本的目标。文中提供了两种解决方案：一种是基于动态规划的方法，复杂度为O(n^2)；另一种则是采用Garsia-Wachs算法，能够将复杂度降至O(n log n)。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

题目链接：https://www.51nod.com/onlineJudge/questionCode.html#problemId=1021¬iceId=276673

1021 石子归并

基准时间限制：1 秒空间限制：131072 KB 分值: 20 难度：3级算法题

关注

N堆石子摆成一条线。现要将石子有次序地合并成一堆。规定每次只能选相邻的2堆石子合并成新的一堆，并将新的一堆石子数记为该次合并的代价。计算将N堆石子合并成一堆的最小代价。

例如： 1 2 3 4，有不少合并方法

1 2 3 4 => 3 3 4(3) => 6 4(9) => 10(19)

1 2 3 4 => 1 5 4(5) => 1 9(14) => 10(24)

1 2 3 4 => 1 2 7(7) => 3 7(10) => 10(20)

括号里面为总代价可以看出，第一种方法的代价最低，现在给出n堆石子的数量，计算最小合并代价。

Input

第1行：N（2 <= N <= 100)
第2 - N + 1：N堆石子的数量（1 <= A[i] <= 10000)

Output

输出最小合并代价

Input示例

Output示例

解析：可以二维dp[i][j]表示i到j的最小代价，转移方程dp[i][j] = min(dp[i][j], dp[i][k] + dp[k+1][j] + sum[j] - sum[i-1]);复杂度O{n^2}，GarsiaWachs算法可以把复杂度降到O(n*log(n))，这也是石子归并V3的解法，

GarsiaWachs算法借鉴博客：http://blog.youkuaiyun.com/acdreamers/article/details/18043897

代码1dp：

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long LL;
const int N = 1000009;
const int mod = 1e9+7ll;

int dp[109][109], sum[109];

int main()
{
    int n, num;
    scanf("%d", &n);
    sum[0] = 0;
    memset(dp, 0x3f, sizeof(dp));
    for(int i = 1; i <= n; i++) dp[i][i] = 0;
    for(int i = 1; i <= n; i++)
    {
        scanf("%d", &num);
        sum[i] = sum[i-1] + num;
    }


    for(int i = n; i >= 1; i--)
    {
        for(int j = i; j <= n; j++)
        {
            for(int k = i; k < j; k++)
                dp[i][j] = min(dp[i][j], dp[i][k] + dp[k+1][j] + sum[j] - sum[i-1]);
        }
    }
    printf("%d\n", dp[1][n]);
    return 0;
}

代码2GarsiaWachs：

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long LL;
const int N = 100009;

int a[N], t;
LL ans;

void Union(int k)
{
    int tp = a[k] + a[k-1];
    ans += tp;
    for(int i = k; i < t - 1; i++) a[i] = a[i+1];
    t--;
    int i;
    for(i = k - 1; i >= 2 && a[i-1] < tp; i--) a[i] = a[i-1];
    a[i] = tp;
    while(i >= 3 && a[i] >= a[i-2])
    {
        int d = t - i;
        Union(i-1);
        i = t - d;
    }
}

int main()
{
    int n;
    scanf("%d", &n);
    for(int i = 1; i <= n; i++)
        scanf("%d", &a[i]);
    t = 2;
    ans = 0;
    for(int i = 2; i <= n; i++)
    {
        a[t++] = a[i];
        while(t >= 4 && a[t-3] <= a[t-1]) Union(t-2);
    }
    while(t > 2) Union(t-1);
    printf("%lld\n", ans);
    return 0;
}