中正平和的机器人学笔记——5. 机械臂动力学

最新推荐文章于 2024-08-06 10:53:39 发布

BonhomieStriker

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分类专栏：机器人学文章标签：机器人学动力学牛顿-欧拉法拉格朗日法

本文链接：https://blog.youkuaiyun.com/qq_34265512/article/details/84894848

本文详细介绍了机械臂动力学的基础知识，包括线加速度、角加速度和质量分布的概念。接着深入探讨了牛顿-欧拉递推动力学方程，分为外推法、牛顿-欧拉方程、内推法三个步骤，并总结了算法。此外，还讲解了拉格朗日动力学方程，通过动能和势能分析动力学问题。文章适合对机器人学感兴趣的读者学习。

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0. 基础知识

0.1 线加速度

上一篇中我们讲到了在坐标系{A}和坐标系{B}原点重合时， $^BQ$ 的速度矢量的表示方式：

$^AV_Q$ = $BARBVQ^A_BR^BV_Q$ + $AΩB^A\Omega_B$ $×\times$ $BARBQ^A_BR^BQ$ (5.1)

我们可以将左侧改写为如下形式：

$ddt\frac{\mathrm{d}} {\mathrm{d}t}$ ( $BARBQ^A_BR^BQ$ ) = $BARBVQ^A_BR^BV_Q$ + $AΩB^A\Omega_B$ $×\times$ $BARBQ^A_BR^BQ$ (5.2)

记住这种形式的方程，会在求解加速度方程时很有用。
接下来推导线加速度的公式，大家一起动手推一下吧！
对式5.1求导，可得当坐标系{A}和坐标系{B}原点重合时， $^BQ$ 的加速度在坐标系{A}中的表达式：

$AV˙Q^A\dot{V}_Q$ = $ddt\frac{\mathrm{d}} {\mathrm{d}t}$ ( $BARBVQ^A_BR^BV_Q$ ) + $AΩ˙B^A\dot{\Omega}_B$ $×\times$ $BARBQ^A_BR^BQ$ + $AΩB^A\Omega_B$ $×\times$ $ddt\frac{\mathrm{d}} {\mathrm{d}t}$ ( $BARBQ^A_BR^BQ$ ) (5.3)

对式5.3右侧的第一项和最后一项代入式5.2，整理后可得，

$AV˙Q^A\dot{V}_Q$ = $BARBV˙Q^A_BR^B\dot{V}_Q$ + 2 $AΩB^A\Omega_B$ $×\times$ $BARBVQ^A_BR^BV_Q$ + $AΩ˙^A\dot{\Omega}$ $×\times$ $BARBQ^A_BR^BQ$ + $AΩB^A\Omega_B$ $×\times$ ( $AΩB^A\Omega_B$ $×\times$ $BARBQ^A_BR^BQ$ ) (5.4)

将上式扩展到原点不重合的情况，就得到了一般的表达式：

$AV˙Q^A\dot{V}_Q$ = $AV˙BORG^A\dot{V}_{BORG}$ + $BARBV˙Q^A_BR^B\dot{V}_Q$ + 2 $AΩB^A\Omega_B$ $×\times$ $BARBVQ^A_BR^BV_Q$ + $AΩ˙^A\dot{\Omega}$ $×\times$ $BARBQ^A_BR^BQ$ + $AΩB^A\Omega_B$ $×\times$ ( $AΩB^A\Omega_B$ $×\times$ $BARBQ^A_BR^BQ$ ) (5.5)

另外要指出，当计算旋转关节时， $^BQ$ 为常量，那么，

$^BV_Q$ = $BV˙Q^B\dot{V}_Q$ = 0
因此相应地，式5.5就可以简化为：

$AV˙Q^A\dot{V}_Q$ = $AV˙BORG^A\dot{V}_{BORG}$ + $AΩ˙^A\dot{\Omega}$ $×\times$ $BARBQ^A_BR^BQ$ + $AΩB^A\Omega_B$ $×\times$ ( $AΩB^A\Omega_B$ $×\times$ $BARBQ^A_BR^BQ$ ) (5.6)