DP学习，01背包问题和完全背包问题

学习自acwing

01背包问题

问题描述

有N件物品，每件物品只能使用一次。

每件物品有体积Vi，价值Wi。

有容量是V的背包，求物品总体积不超过背包容积的最大价值。

解题思路

DP

状态表示：f[i][j]表示从前 i 个物品中选，总体积不超过 j 的方案中，价值最大的。

也就是前i个物品中选，总体积不超过j的方案的最大价值。

**状态计算：**从最后一位开始思考和划分。这里划分2种情况，划分的依据是不重不漏。

1. 不选择第i个物品，那么前i-1个物品的价值仍然不变。

f[i-1][j]

2. 选择第i个物品，那么第i个物品为必选，前i-1个物品的情况是已是最优情况。

f[i-1][j-v[i]]+w[i]

示意图如下：

• f[i][j]就是上面两种情况求个max，就是取这两种情况下价值大的价值作为该状态的值。

代码：f[i][j] = f[i-1][j] + f[i-1][j-v[i]]+w[i]

注意：如果背包容量不够放下第i个物品，那么当前状态不变

f[i][j] = f[i-1][j]

**初始化：**前0个物品中，总体积不超过0~背包体积m的最大价值为0。

f[0][0~m] = 0

实际上无需做操作，因为全局变量的默认值就是0。

完整思路图

完整代码：

朴素写法：

#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <iostream>
#include <algorithm>
using namespace std;

const int N = 1005;
int v[N],w[N];	//物品的体积和价值
int f[N][N];	//状态转移方程,f[i][j]表示从前i个物品中选，总体积不超过j的最大价值 

int main() {
	int n,m;	//背包数量和容积
	cin >> n >> m;
	for(int i = 1; i <= n; i++)	//注意从1~n 
		scanf("%d%d",&v[i],&w[i]);
	//f[0][0~m]=0为初始状态，默认为0 
	for(int i = 1; i <= n; i++) {	//注意要包括n 
		for(int j = 0; j <= m; j++) {	//注意要包括m 
			if(j < v[i]) 	//装不下第i个物品
				f[i][j] = f[i-1][j]; 
			else
				f[i][j] = max(f[i-1][j],f[i-1][j-v[i]]+w[i]);
		}
	}
	cout << f[n][m] << endl;	//n个物品中选，总体积不超过m的最大价值 
}

利用滚动数组思想，转换成一维的做法。这样时间复杂度更低。

转换的方法就是，直接删掉一维，然后思考一下是不是等价的，再进行一些修改。

#include <iostream>
#include <algorithm>
using namespace std;

const int N = 1010;

int n, m;   //物品数量、背包容积
int f[N];   //总体积<=j的最大价值

int main() {
    cin >> n >> m;
    for (int i = 0; i < n; i++) {
        int v, w;   //物品的体积、价值
        cin >> v >> w;
        for (int j = m; j >= v; j--) {
            f[j] = max(f[j], f[j - v] + w);
        }
    }
    cout << f[m] << endl;
    return 0;
}

完全背包问题

问题描述

有N件物品，每件物品能无限使用。

每件物品有体积Vi，价值Wi。

有容量是V的背包，求物品总体积不超过背包容积的最大价值。

解题思路

状态表示：f[i][j]表示从前i个物品中选，总体积不超过j的最大价值

状态计算：

01背包问题中，只需要考虑第i个物品选或者不选，而完全背包问题中，每个物品可以选无数多个，所以需要划分成n个子集。

每个子集表示第i个物品选0,1,2,…,k…个数量。然后再求一个max。

选0个：和01背包的情况一样

f[i-1][j]

选k个：

这里和01背包略有不同，需要容量需要减去k倍的v[i]

f[i-1][j-k*v[i]]

状态转移方程为

这样需要三重循环来达到效果，显然时间复杂度不达标，所以需要做一些优化。

上图可以看到，红色的部分其实完全等价，所以就可以做一个替换，把上式中所有的j都变成j-v。

这样就少了一重循环，实现这个dp只需要2重循环了。

状态转移方程为：f[i][j] = max(f[i-1][j],f[i][j-v[i]])+w[i]

完成思路图

再次对比一下01背包问题和完全背包问题的状态转移方程

/*
01背包问题：
f[i][j] = max(f[i-1][j],f[i-1][j-v[i]]+w[i])
完全背包问题：
f[i][j] = max(f[i-1][j],f[i][j-v[i]]+w[i])
*/

注意，只有一个区别，01背包问题是f[i-1][j-v]+w，完全背包问题是f[i][j-v]+w

完整代码

朴素写法：

#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <iostream>
#include <algorithm>
using namespace std;

const int N = 1005;
int v[N];	//每种物品的体积
int w[N];	//每种物品的价值
int f[N][N];	//状态转移方程 

int main() {
	int n,m;	//物品种数和背包容积
	cin >> n >> m;
	for(int i = 1; i <= n; i++) cin >> v[i] >> w[i];
	//初始化，f[0][0~m] = 0 
	for(int i = 1; i <= n; i++) {
		for(int j = 1; j <= m; j++) {
			f[i][j] = f[i-1][j];
			if(j >= v[i]) {	//当前容量放得下v[i] 
				f[i][j] = max(f[i][j],f[i][j-v[i]]+w[i]);
			}
		}
	}
	cout << f[n][m] << endl;
	return 0;
}

利用滚动数组思想，优化后的代码：

#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <iostream>
#include <algorithm>
using namespace std;

const int N = 1005;
int v[N];	//每种物品的体积
int w[N];	//每种物品的价值
int f[N];	//状态转移方程 

int main() {
	int n,m;	//物品种数和背包容积
	cin >> n >> m;
	for(int i = 1; i <= n; i++) cin >> v[i] >> w[i];
	for(int i = 1; i <= n; i++)
		for(int j = v[i]; j <= m; j++)
			f[j] = max(f[j],f[j-v[i]]+w[i]);
	cout << f[m] << endl;
	return 0;
}