关于范数

本文介绍了向量和矩阵的范数,包括1-范数、2-范数(欧几里得范数)、∞-范数以及p-范数的概念、性质和应用。此外,还探讨了矩阵的1-范数、2-范数、∞-范数和Frobenius范数,以及范数在明氏距离中的推广。

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一、范数包括向量范数和矩阵范数。

其中,对N维度的空间Rn中任意一个向量X,按照一定的法则,有一个确定的实数与之相对应,该实数记作║x║,如果║x║满足下面的三个性质,那么我们就称║x║为向量x的向量范数

    ⒈ 非负(正定)性:||X||>=0,且当且仅当x=0的时候║x║=0;

     ⒉ 正齐次性:对任意实数λ,均有||λX||=|λ| ||X||;

     ⒊ 次可加性(三角不等式):对任意向量y∈Rn,||X+Y||<=||X||+||Y||

令x为向量:( x1,x2,…,xn)T ,常用向量范数有4种

  ①1-范数:║x║1=│x1│+│x2│+…+│xn│=sum(abs(xi)); 是指向量(矩阵)里面非零元素的个数。类似于求棋盘上两个点间的沿方格边缘的距离。应用:这个概念在二维图像处理的时候有涉及到,求两个像素点之间的通路的问题,其实就是两个像素点的1范数,是不变的,无论按照哪一条路走,最终的结果是一样的

    ②2-范数或Euclid范数:║x║2=(│x1│^2+│x2│^2+…+│xn│^2)^1/2 = sqrt(sum(xi.^2));是指空间上两个向量矩阵的直线距离。类似于求棋盘上两点见的直线距离   (无需只沿方格边缘)。其实就是欧氏距离:

                                           二维空间的公式     0ρ = sqrt( (x1-x2)^2+(y1-y2)^2 ) |

### 关于范数的几何意义与数学定义 #### 范数的数学定义 范数是一种衡量向量大小的方式,在数学上通常用于度量空间中的元素长度或距离。形式化地说,假设 \( V \) 是一个实数域上的向量空间,则函数 \( \| \cdot \| : V \to \mathbb{R} \) 称为范数,如果它满足以下三个条件: 1. **正定性**:对于任意 \( v \in V \),有 \( \|v\| \geq 0 \),并且当且仅当 \( v = 0 \) 时,\( \|v\| = 0 \)[^3]。 2. **齐次性**:对于任意标量 \( c \in \mathbb{R} \) 和任意向量 \( v \in V \),有 \( \|cv\| = |c|\|v\| \)[^3]。 3. **三角不等式**:对于任意两个向量 \( u, v \in V \),有 \( \|u+v\| \leq \|u\| + \|v\| \)[^3]。 常见的范数包括 \( L_1 \)-范数、\( L_2 \)-范数无穷范数(也叫最大范数)。其中,\( L_2 \)-范数对应的是欧几里得空间中的标准距离计方式。 #### 范数的几何意义 从几何角度来看,范数表示了一个向量在特定空间中的“长度”。例如,在二维或三维欧几里得空间中,\( L_2 \)-范数就是我们熟悉的勾股定理所表达的距离公式。具体来说,给定向量 \( v = (x_1, x_2, ..., x_n) \),则其 \( L_2 \)-范数可写成如下形式: \[ \|v\|_2 = \sqrt{x_1^2 + x_2^2 + ... + x_n^2}. \] 这实际上代表了该向量起点至终点之间的直线距离。 另外,不同类型的范数会形成不同的单位球形状。比如,在二维情况下,\( L_1 \)-范数对应的单位圆是一个菱形;而 \( L_\infty \)-范数下的单位圆则是方形。因此,通过改变使用的范数类型,我们可以调整如何评估数据点间的接近程度或者误差范围。 #### 立体几何中的应用 在立体几何中,范数可以帮助描述多维对象间的关系。例如,考虑三维欧几里得空间内的两点 A(x₁,y₁,z₁) 及 B(x₂,y₂,z₂),它们之间的欧式距离即为这两个坐标差值组成的向量之L2-范数值: ```python import math def euclidean_distance(A, B): return math.sqrt((A[0]-B[0])**2 + (A[1]-B[1])**2 + (A[2]-B[2])**2) point_A = (1, 2, 3) point_B = (4, 5, 6) distance_AB = euclidean_distance(point_A, point_B) print(f"The Euclidean distance between {point_A} and {point_B} is {distance_AB}") ``` 上述代码展示了如何利用Python实现基于L2-范数的两三维点间距计功能。
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