hdu 3411 Snail Alice （等比数列递推）

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本文针对 HDU 3411 题目提供了解题思路与代码实现。通过对题目进行分析，找到了递推公式 f[n]=(q-1)*f[n-1]+q*f[n-2]，并利用矩阵快速幂的方法高效地解决了大数幂运算的问题。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

题目：http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=3411

是一个等比数列，这个已经忘干净了，转：http://blog.youkuaiyun.com/wust_xhj/article/details/47779539

其实最好的方法还是猜：

q=2：1,1,3,5,11,21,43,85,171……，很容易看出f[n] = f[n-1] + 2*f[n-2]。

q=3：1,2,7,20,61,182,547,1640……，类比上面有f[n] = 2*f[n-1] + 3*f[n-2]。

猜一下：f[n] = (q-1)*f[n-1] + q*f[n-2]，代入原式验证正确。

以下转载证明过程：

~~学会推导代码就简单了。~~

也不简单，

主要是递推公式的n-1次方为2^y2 - 1 + Z2，y2，z2就很大，n更大了，但其实不需要算出来。

看代码就知道，做n-1次方时看二进制有几个1就行，2^y2-1正好有y2个1，做y2次运算，再乘上a^z2即可。

f（0）=0，f（1）=1；

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;

typedef long long int ll;
const int maxn=2;
ll mod;

struct matrix{
    ll arr[maxn][maxn];
    matrix operator*(matrix b){
        matrix ans;
        ll tmp;
        for(int i=0; i<maxn; i++)
        for(int j=0; j<maxn; j++){
            ans.arr[i][j] = 0;
            for(int k=0; k<maxn; k++){
                tmp = (arr[i][k]*b.arr[k][j])%mod;
                ans.arr[i][j] = (ans.arr[i][j] + tmp)%mod;
            }
        }
        return ans;
    }
};
matrix quick_pow(matrix a,ll N){
    matrix ans;
    memset(ans.arr,0,sizeof(ans.arr));
    for(int i=0; i<maxn; i++)
        ans.arr[i][i] = 1;
    while(N){
        if(N&1)
            ans = ans*a;
        a = a*a;
        N /= 2;;
    }
    return ans;
}
ll pow(ll x, ll n){   //快速幂
    ll ans=1;
    while(n){
        if(n&1){
            ans=ans*x%mod;
        }
        x=x*x%mod;
        n>>=1;
    }
    return (ans+mod)%mod;
}
int main(){
    ll x1,y1,z1;
    matrix a,ans;
    while(~scanf("%lld%lld%lld",&x1,&y1,&z1)){
        if(x1==-1&&y1==-1&&z1==-1)  break;
        memset(ans.arr,0,sizeof(ans.arr));
        ll y2,z2;
        scanf("%lld%lld%lld",&y2,&z2,&mod);
        ll q=(pow(x1,y1)+z1)%mod;    //求q
        ll b[2][2]={(q-1+mod)%mod,q,1,0};
        for(int i=0;i<2;i++)
        for(int j=0;j<2;j++)
            a.arr[i][j]=b[i][j];
        matrix aa=quick_pow(a,z2);
        for(int i=0; i<2; i++)  //单位矩阵
            ans.arr[i][i] = 1;
        for(int i=0;i<y2;i++){     //模仿quick_pow
            ans=ans*a;
            a=a*a;
        }
        ans=ans*aa;
        ll anss;
        anss=(ans.arr[0][0]+mod)%mod;
        printf("%lld\n",anss);
    }
    return 0;
}