【LIS】洛谷 HAOI2007 上升序列(Longest Increasing Subsequence)

最新推荐文章于 2024-07-30 18:36:42 发布

Lindsey_Shaw

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本文介绍了洛谷HAOI2007竞赛中的一道题目，涉及如何找到给定序列中长度为特定值的上升序列，并要求该序列的字典序最小。作者分享了两种不同的解决方案，一种是nlogn时间复杂度的方法，用于求解字典序最小的最长上升序列，另一种是从后往前扫描序列求序号字典序最小的LIS。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

题目描述

对于一个给定的S={a1,a2,a3,…,an},若有P={ax1,ax2,ax3,…,axm},满足(x1<x2<…<xm) 且（ax1<ax2<…<axm)。那么就称P为S的一个上升序列。如果有多个P满足条件，那么我们想求字典序最小的那个。

任务给出S序列，给出若干询问。对于第i个询问，求出长度为Li的上升序列，如有多个，求出字典序最小的那个（即首先x1最小，如果不唯一，再看x2最小……），如果不存在长度为Li的上升序列，则打印Impossible.

输入输出格式

输入格式：

第一行一个N，表示序列一共有N个元素

第二行N个数，为a1,a2,…,an

第三行一个M，表示询问次数。下面接M行每行一个数L，表示要询问长度为L的上升序列。

输出格式：

对于每个询问，如果对应的序列存在，则输出，否则打印Impossible.

输入输出样例

输入样例#1：

6
3 4 1 2 3 6
3
6
4
5

输出样例#1：

Impossible
1 2 3 6
Impossible

说明

数据范围

N<=10000

M<=1000

分析

刚开始看这道题的时候看到n和m的范围觉得n方的做法一定会超时便学习了nlogn的解法

后来才发现这道题要求输出的是序号字典序最小的最长上升子序列而不是字典序最小的序列

于是又换了一种比较巧妙做法

这道题让我学习了很多在这里把两种做法都说一说

① nlogn做法求字典序最小的最长上升序列

我们用ans[i]来表示长度为i的最长上升序列的最小末位

我们用pos[i]来表示a[i]在最长上升序列中曾经出现过的位置

我们用LIS[1]->LIS[i]来表示长度为i的字典序最小的最长上升序列

那么怎么实现这三个数组呢举个例子：

如序列：3 4 1 2 3 6


a[i]	3	4	1	2	3	6

从3开始 ans此时是空 3直接加入此时 ans[1]=3 即长度为1的LIS末位最小为3
ans[i]	3
pos[i]	1

4来了 4比3大更新ans[2]为4 即此时长度为2的LIS末位最小为4
ans[i]	3	4
pos[i]	1	2

再加入1 1比4小就在ans中找到第一个大于等于1的数用1代替它即此时3被代替
ans[i]	1	4
pos[i]	1	2	1

加入2 2比4大比1小于是用2代替4 即此时ans[2]=2
ans[i]	1	2
pos[i]	1	2	1	2

同理将3加入
ans[i]	1	2	3
pos[i]	1	2	1	2	3

同理将5加入
ans[i]	1	2	3	6
pos[i]	1	2	1	2	3	4

更新过ans与pos数组后我们便可以发现：

此时的len便是LIS的长度

LIS数组可以这样更新：

从n到1 一次遍历pos数组第一次碰到的pos值为i的值所对应的a[i]便是我们要求的LIS中的LIS[i]

#include<algorithm>
#include<cstring>
#include<iostream>
#include<cstdio>
#define MAXN 10005
#define INF 0x7f7f7f7f
using namespace std;
int n;
int a[MAXN],pos[MAXN];
int ans[MAXN];
int LIS[MAXN];//LIS[1]->LIS[i]表示长度为i的字典序最小的最长上升序列
int len;
int main()
{
    scanf("%d",&n);//输入序列长度
    for(int i=1; i<=n; i++)//输入该序列
        scanf("%d",&a[i]);
    ans[0]=0,ans[1]=a[1];//初始化
    pos[0]=0,pos[1]=1;
    len=1;//初始长度设为1
    for(int i=2; i<=n; i++)
        if(a[i]>ans[len])//依次更新ans数组与pos数组的值
        {
            pos[i]=len+1;
            ans[++len]=a[i];
        }
        else if(a[i]<ans[len])
        {
            int p=lower_bound(ans+1,ans+len+1,a[i])-ans;//用lower_bound查找第一个小于等于a[i]的位置
            ans[p]=a[i];
            pos[i]=p;
        }
        else
            pos[i]=pos[i-1];
    int l=len;
    for(int i=n;i>=1;i--)//求出LIS序列
        if(pos[i]==l)
        {
            LIS[l]=a[i];
            l--;
        }
    for(int i=1;i<=len;i++)
        cout<<LIS[i]<<" ";
    return 0;
}

② 求序号字典序最小的LIS

这个做法就比较容易理解了

我们用f[i]来表示从i开始的LIS的长度 注意一定要从后往前扫一遍求出f数组

然后从前往后扫一遍f数组长度从所询问的长度到1

第一个出现的大于等于当前长度的f[i]所对应的a[i]即是我们要寻找的LIS中的一个

#include<iostream>
#include<cstdio>
#define MAXN 10005
using namespace std;
int f[MAXN];
int a[MAXN];
int n,t;
int maxm;
int main()
{
    scanf("%d",&n);
    for(int i=1; i<=n; i++)
    {
        scanf("%d",&a[i]);
        f[i]=1;
    }
    scanf("%d",&t);
    for(int i=n-1; i>=1; i--)
        for(int j=n; j>i; j--)
            if(a[j]>a[i])
                f[i]=max(f[i],f[j]+1);
    for(int i=1;i<=n;i++)
        if(f[i]>maxm) maxm=f[i];
    while(t--)
    {
        int x;
        scanf("%d",&x);
        if(x>maxm)
            printf("Impossible\n");
        else
        {
            int l=x,tmp=0;
            for(int i=1;i<=n;i++)
            {
                if(f[i]>=l&&a[i]>tmp)
                {
                    tmp=a[i];
                    l--;
                    printf("%d ",tmp);
                }
                if(l==0) break;
            }
            printf("\n");
        }
    }
    return 0;
}