322. 零钱兑换 518. 零钱兑换 II （动态规划）

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本文探讨了零钱兑换的问题，包括如何用最少的硬币组合达成指定金额，以及硬币组合数的计算。通过两个示例展示了动态规划的解决思路，解释了动态规划的状态转移方程，对于零钱兑换II问题，强调了每种面额硬币无限的情况。

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零钱兑换

给定不同面额的硬币 coins 和一个总金额 amount。编写一个函数来计算可以凑成总金额所需的最少的硬币个数。如果没有任何一种硬币组合能组成总金额，返回 -1。

示例 1:

输入: coins = [1, 2, 5], amount = 11
输出: 3 
解释: 11 = 5 + 5 + 1

示例 2:

输入: coins = [2], amount = 3
输出: -1
说明:
你可以认为每种硬币的数量是无限的。

【中等】
【分析】动态规划
dp[i] 定义为金额为i需要的最少硬币数量；

循环i;[0,amount]; coin:coins

若i>=coin ：dp[i]=min(dp[i],dp[i-coin]+1)

class Solution(object):
    def coinChange(self, coins, amount):
        """
        :type coins: List[int]
        :type amount: int
        :rtype: int
        """
        dp=[float("inf")]*(amount+1);dp[0]=0       
        for i in range(amount+1):
            for coin in coins:
                if i-coin>=0:
                    dp[i]=min(dp[i],dp[i-coin]+1)
        return dp[-1] if dp[-1]!=float("inf") else -1

零钱兑换 II

给定不同面额的硬币和一个总金额。写出函数来计算可以凑成总金额的硬币组合数。假设每一种面额的硬币有无限个。

示例 1:

输入: amount = 5, coins = [1, 2, 5]
输出: 4
解释: 有四种方式可以凑成总金额:
5=5
5=2+2+1
5=2+1+1+1
5=1+1+1+1+1

示例 2:

输入: amount = 3, coins = [2]
输出: 0
解释: 只用面额2的硬币不能凑成总金额3。

示例 3:

输入: amount = 10, coins = [10] 
输出: 1

注意:

你可以假设：

0 <= amount (总金额) <= 5000
1 <= coin (硬币面额) <= 5000
硬币种类不超过 500 种
结果符合 32 位符号整数

【中等】
【分析】动态规划。
dp[i][j]定义为 $i$ 个硬币能凑成总额为 $j$ 时的组合数

dp[i][j]+=dp[i-1][j] ： $i - 1$ 个硬币时总额为j的组合数必然是 $i$ 个硬币总额为 $j$ 的组合数
dp[i][j]+=dp[i][j-coin] ：当加上一个面额为coin的硬币时，dp[i][j-coin]的组合数必然是dp[i][j]的组合数。

class Solution(object):
    def change(self, amount, coins):
        """
        :type amount: int
        :type coins: List[int]
        :rtype: int
        """
        dp=[[0 for j in range(amount+1)] for i in range(len(coins)+1)]
        dp[0][0]=1
        for i in range(1,len(coins)+1):
            for j in range(amount+1):
                dp[i][j]+=dp[i-1][j]
                if j-coins[i-1]>=0:
                    dp[i][j]+=dp[i][j-coins[i-1]]
        return dp[-1][-1]