算法入门经典

1.开灯问题

有n盏灯，编号为1～n。第1个人把所有灯打开，第2个人按下所有编号为2 的倍数的开关（这些灯将被关掉），第3个人按下所有编号为3的倍数的开关（其中关掉的灯 将被打开，开着的灯将被关闭），依此类推。一共有k个人，问最后有哪些灯开着？输 入n和k，输出开着的灯的编号。k≤n≤1000。

样例输入：
7 3
样例输出：
1 5 6 7
【分析】

用a[1]，a[2]，…，a[n]表示编号为1，2，3，…，n的灯是否开着。模拟这些操作即可。

代码如下：

#include<stdio.h>
#include<string.h>
#define maxn 1010
int a[maxn];
int main()
{
	int n,k,first=1;
	memset(a,0,sizeof(a));
	scanf("%d%d",&n,&k);
	for(int i=1;i<=k;i++)
	for(int j=1;j<=n;j++)
	if(j%i==0) a[j]=!a[j];       //赋值 赋值与他相反的真值
	for(int i=1;i<=n;i++)
	if(a[i]){ if(first) first=0; else printf(" "); printf("%d",i);} 
	printf("\n");
	return 0;
}

注意：“memset（a，0，sizeof（a））”的作用是把数组a清零，它也在string.h中定义。虽然也能 用for循环完成相同的任务，但是用memset又方便又快捷。另一个技巧在输出：为了避免输出 多余空格，设置了一个标志变量first，可以表示当前要输出的变量是否为第一个。第一个变 量前不应有空格，但其他变量都有。

2.蛇形填数

在n×n方阵里填入1，2，…，n×n，要求填成蛇形。例如，n＝4时方阵为：
10 11 12 1 

 9  16 13 2 

 8 15  14 3

 7  6   5   4
上面的方阵中，多余的空格只是为了便于观察规律，不必严格输出。n≤8

【分析】
类比数学中的矩阵，可以用一个二维数组来储存题目中的方阵。只需声明一个“int a[maxn][maxn]”，就可以获得一个大小为maxn×maxn的方阵。在声明时，二维的大小不必相 同，因此也可以声明int a[30][50]这样的数组，第一维下标范围是0,1, 2,…,29，第二维下标范 围是0,1,2,…,49。用“int a[maxn][maxm]”生成一个整型的二维数组，其中maxn和maxm 不必相等。这个数组共有maxn×maxm个元素，分别为a[0][0], a[0][1],…, a[0][maxm-1], a[1][0],a[1][1],…,a[1][maxm-1],…,a[maxn-1][0],a[maxn-1][1],…, a[maxn-1] [maxm 1]。
从1开始依次填写。设“笔”的坐标为（x,y），则一开始x=0，y=n-1，即第0行，第n-1列 （行列的范围是0～n-1，没有第n列）。“笔”的移动轨迹是：下，下，下，左，左，左， 上，上，上，右，右，下，下，左，上。总之，先是下，到不能填为止，然后是左，接着是 上，最后是右。“不能填”是指再走就出界（例如4→5），或者再走就要走到以前填过的格子 （例如12→13）。如果把所有格子初始化为0，就能很方便地加以判断。

代码如下：

#include<stdio.h>
#include<string.h> 
#define maxn 20 
int a[maxn][maxn]; 
int main() 
{  
   int n, x, y, tot = 0;  
   scanf("%d", &n);  
   memset(a, 0, sizeof(a));  
   tot = a[x=0][y=n-1] = 1;  
   while(tot < n*n)  
   {    
      while(x+1<n && !a[x+1][y]) a[++x][y] =  ++tot;    
      while(y-1>=0 && !a[x][y-1]) a[x][--y] = ++tot;    
	 while(x-1>=0 && !a[x-1][y]) a[--x][y] = ++tot;    
	 while(y+1<n && !a[x][y+1]) a[x][++y] =  ++tot; 
	}  
	 for(x = 0; x < n; x++)  
	 {    
         for(y = 0; y < n; y++) 
		   printf("%3d", a[x][y]);   
	        printf("\n");  
	 } 
		 return 0;
 }

注意：这段程序充分利用了C语言简洁的优势。首先，赋值x=0和y=n-1后马上要把它们 作为数 组a的下标，因此可以合并完成；tot和a[0][n-1]都要赋值1，也可以合并完成。这样，就用一 条语句完成了多件事情，而且并没有牺牲程序的可读性——这段代码的含义显而易见。可以利用C语言简洁的语法，但前提是保持代码的可读性。4条while语句有些难懂，不过十分相似，因此只需介绍其中的第一条：不断向下走， 并且填数。原则是：先判断，再移动，而不是走一步以后发现越界了再退回来。这 样，则需要进行“预判”，即是否越界，以及如果继续往下走会不会到达一个已经填过的格 子。越界只需判断x+1<n，因为y的值并没有修改；下一个格子是(x+1,y)，因此只需“a[x+1][y]
== 0”，简写成“!a[x+1][y]”（其中“!”是“逻辑非”运算符）。

3.竖式问题

找出所有形如abc*de（三位数乘以两位数）的算式，使得在完整的竖式中， 所有数字都属于一个特定的数字集合。输入数字集合（相邻数字之间没有空格），输出所有 竖式。每个竖式前应有编号，之后应有一个空行。最后输出解的总数。具体格式见样例输出 （为了便于观察，竖式中的空格改用小数点显示，但所写程序中应该输出空格，而非小数 点）。
样例输入：
2357
样例输出：
<1>
..775
X..33
----
.2325
2325.
----
25575
The number of solutions = 1
【分析】
本题的思路应该是很清晰的：尝试所有的abc和de，判断是否满足条件。我们可以写出 整个程序的伪代码：

char s[20]; 
int count = 0;    
scanf("%s", s);
 for(int abc = 111; abc <= 999; abc++) 
 for(int de = 11; de <= 99; de++)    
if("abc*de"是个合法的竖式)  
 {     printf("<%d>\n", count);   
      打印abc*de的竖式和其后的空行    
     count++; 
 } 
printf("The number of solutions = %d\n", count);

代码实现：

#include<stdio.h>
 #include<string.h>
 int main()
 {
	 int count=0;
	 char s[20],buf[99];
	 scanf("%s",s);
	 for(int abc=111;abc<999;abc++)
		  for(int de=11;de<99;de++)
		  {
			  int x=abc*(de%10),y=abc*(de/10),z=abc*de;  //分别对应的是个位数与十位数的乘积
			  sprintf(buf,"%d%d%d%d%d",abc,de,x,y,z);
			  int ok=1;
              for(int i=0;i<strlen(buf);i++)
                  if(strchr(s,buf[i])==NULL) ok=0;
			  if(ok)
			  {
				  printf("<%d>\n",++count);
				  printf("%5d\nX%4d\n-----\n%5d\n%4d\n----\n%5d\n\n",abc,de,x,y,z);
				  
			  }
		  }
      printf("The number of solutions=%d\n",count);
	  return 0;
 }

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