树与二叉树的应用

最新推荐文章于 2021-12-06 10:21:32 发布

楚轩QK

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分类专栏：数据结构与算法文章标签：数据结构

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树与二叉树的应用

树与二叉树的应用

1.二叉排序树的应用

1.1、定义

二叉排序树(也称二叉查找树)或者是一颗空树，或者是一颗具有下列特性的非空二叉树：

1. 若左子树非空，则左子树上所有节点关键字值均小于根节点的关键字值。 2. 若右子树非空，则右子树上所有节点关键字值均大于根节点的关键字值。 3. 左、右子树本身也分别是一颗二叉排序树。

(ps:二叉排序树是一个递归的数据结构，且左子树节点值<根节点值<右子树节点值。由中序遍历可以得到一个递增的有序序列。)

特点：二叉排序树是一种动态集合，树的结构通常不是一次生成的，而是在查找过程中，当树中不存在关键字值等于给定值得结点时再进行插入的。

1.2、基本操作

1.2.2插入

若原二叉树排序树为空，则直接插入结点；

若关键字k小于根结点关键字，则插入左子树；

若关键字k大于根结点关键字，则插入右子树；

此为递归定义

int  BST_Insert(BiTree &T, KeyType k){
// 在二叉排序树T中插入一个关键字为k的结点
	if(T==NULL){
		T = (BiTree)malloc(sizeof(BSTNode));
		T->key = k;
		T->lchild=T->rchild=NULL;
		return 1;			// 返回1，表示成功
	}else if(k==T->key)		// 树中存在相同关键字的结点
		return 0;
	else if(k<T->key)		// 插入T的左子树
		return BST_Insert(T->lchild, k);
	else					// 插入T的右子树
		return BST_Insert(T->rchild, k);
}

1.2.2构造

每读入一个元素，就建立一个新结点，若二叉排序树非空，则将新结点的值与根结点的值比较，若小于根结点的值，则插入左子树，否则插入右子树；若二叉排序树为空，则将新结点作为二叉排序树的根结点。

void Creat_BST(BiTree &T, KeyType str[], int n){
// 用关键字数组str[]建立二叉排序树
	T = NULL; 			// 初始化bt为空树
	int i = 0;
	while(i < n){		// 依次将每个元素插入
		BST_Insert(T, str[i]);
		i++;
	}
}

1.2.4查找

查找是从根结点开始，沿某个分支逐层向下进行比较的过程。

若二叉排序树非空，则将关键字与根结点的关键字比较，若相等，则查找成功；

若不等，则当根结点的关键字值大于给定关键字值时，在根结点的左子树中查找，否则在根结点的右子树中查找。

// 非递归查找
BSTNode *BST_Search(BiTree T, ElemType key, BSTNode *&p){
// 查找函数返回指向关键字值为key的结点指针，若不存在，返回NULL;
	p = NULL;		// p指向被查找结点的双亲，用于插入和删除操作中
	while(T!=NULL&&key!=T->data){
		p = T;
		if(key<T->data)		T=T->lchild;
		else	T = T->rchild;
	}
	return T;
}

1.2.3删除

删除操作的实现过程按3种情况来处理:

1.若被删除结点z是叶结点，则直接删除，不会破坏二叉排序树的性质。

2.若结点z只有左子树或右子树，则让z子树成为z父结点的子树，代替z的位置。

3.若结点z有左、右两颗子树，则令z直接后继(后直接前驱)替代z，然后从二叉排序树中删除这个直接后继(或直接前驱),这样就转换成为了第一或第二种情况。

1.2.5查找效率分析

二叉排序树查找算法的平均查找长度，主要取决于树的高度。

2.平衡二叉树

2.1、定义

在插入和删除二叉树结点时，要保证任意结点的左、右子树高度差的绝对值不超过1,这样的二叉树称为平衡二叉树(Balanced Binary Tree),简称平衡树(AVL)。

目的：避免树的高度增长过快，而导致降低了二叉排序树的性能。

平衡因子：结点左子树与右子树的高度差。

2.2、基本操作1

2.2.1 插入/删除
基本思想：每当在二叉排序树中插入(或删除)一个结点时，首先检查其插入路径上的结点是否因为此次操作而导致了不平衡。若导致了不平衡，则先找到插入路径上离插入结点最近的平衡因子的绝对值大于1的结点A，再对以A为根的子树，在保持二叉排序树特性的前提下，调整各结点的位置关系，使之重心达到平衡。

失去平衡后进行调整的规律如下:

1）LL平衡旋转(右单旋转)

2）RR平衡旋转(左单旋转)

3）LR平衡旋转(先左后右双旋转)

4）RL平衡旋转(先右后左双旋转)