<think>首先,用户的问题是关于计算数组中满足特定条件的子序列数量。条件是:子序列中有一个最大值,最大值左边严格升序,最大值右边严格降序。结果需要对998244353取模。
我需要理解这个条件。用户称之为“丸山定义”,但我不知道这个术语;可能是一个特定名称或用户自定义。无论如何,我应该基于描述来理解。
关键点是:
- 子序列必须有一个最大值(只有一个最大值)。
- 最大值左边的元素必须严格升序(从左到右递增)。
- 最大值右边的元素必须严格降序(从左到右递减)。
子序列是数组中的元素序列,不一定连续,但顺序必须保持原数组的顺序。
例如,对于数组 [1,3,2],子序列 [1,3] 满足:最大值是3,左边[1]升序,右边无元素。
另一个例子:[1,3,2] 本身:最大值是3,左边[1]升序,右边[2]降序。
但 [1,2,3] 不满足,因为最大值3在末尾,左边[1,2]升序,但右边无元素,所以满足?用户说“有且仅有一个最大值”,所以如果最大值在末尾,左边升序,右边无元素,应该也满足,因为右边是空序列,可以视为降序(空序列通常被视为满足条件)。
类似地,如果最大值在开头,左边无元素,右边降序。
所以,子序列可以以最大值开头或结尾。
现在,我需要计算所有这样的子序列的数量。
数组大小未指定,但既然是编程问题,我需要一个高效的算法,因为数组可能很大。
结果取模998244353,这是一个大质数,常用于编程竞赛。
我应该设计一个动态规划(DP)解决方案。
让我定义DP状态。
一个常见的方式是考虑每个位置作为最大值的情况。
但子序列的最大值可能不是数组的最大值;它是子序列中的最大值。
所以,我需要对于每个元素,考虑它作为最大值时的贡献。
定义:
让数组为 arr,长度为 n。
我需要对于每个位置 i(0-indexed),计算以 arr[i] 为最大值的满足条件的子序列数量。
然后,总数量是所有 i 的贡献之和。
现在,对于固定的 i,以 arr[i] 为最大值。
在子序列中,arr[i] 是最大值,所以所有元素 ≤ arr[i]。
但条件是关于顺序:左边部分必须严格升序,右边部分严格降序。
左边部分:在子序列中,最大值左边的元素必须严格升序,并且都小于 arr[i](因为 arr[i] 是最大值)。
类似地,右边部分必须严格降序,并且都小于 arr[i]。
由于子序列的顺序必须保持原数组顺序,所以左边部分必须在 i 的左边(索引小于 i),右边部分在 i 右边(索引大于 i)。
在子序列中,元素顺序保持原序,所以最大值左边的元素在数组中都位于 i 左边,右边元素都位于 i 右边。
是的。
所以,对于固定 i,以 arr[i] 为最大值,子序列由三部分组成:
- 左部分:索引在 [0, i-1] 的子序列,严格升序,以某个元素结尾,但等等,不一定以 i-1 结尾;它可以是任意子序列,但必须严格升序,并且所有元素 < arr[i],因为 arr[i] 是最大值。
类似地,右部分:索引在 [i+1, n-1] 的子序列,严格降序,所有元素 < arr[i]。
而且,左部分和右部分可以为空。
空序列是允许的。
现在,左部分:我需要所有严格升序子序列,其中元素来自 arr[0..i-1],元素值 < arr[i]。
但子序列必须严格升序,所以顺序是固定的:从左到右递增。
类似地,右部分:严格降序子序列,元素来自 arr[i+1..n-1],元素值 < arr[i],顺序从右到左递减?等等。
定义清楚。
对于右部分:在子序列中,它是最大值右边的元素,顺序必须严格降序,意思是当从左到右读时,是递减的。
例如,在子序列中,位置:max 在中间,左边升序,右边降序。
所以,对于右部分,元素在数组索引 j > i,在子序列中,它们出现在 max 之后,顺序是 arr[j1], arr[j2], ... 其中 j1 < j2 < ...(因为顺序保持),并且 arr[j1] > arr[j2] > ... 严格降序。
由于索引 j > i 且 j 递增,但值必须严格递减。
类似地,左部分:索引 k < i,k 递减?等等。
在子序列中,左部分在 max 之前,所以元素顺序是 ... , arr[k2], arr[k1], max 其中 k1 < k2 < ... 索引,但值 arr[k1] < arr[k2] < ... 严格升序?等等。
假设子序列索引序列:p1, p2, ..., pm, i, q1, q2, ..., qr
其中 p 是左部分索引,q 是右部分索引。
p1 < p2 < ... < pm < i < q1 < q2 < ... < qr
值:arr[p1] < arr[p2] < ... < arr[pm] < arr[i] 因为严格升序到 max,且 max 是最大值。
然后 arr[i] > arr[q1] > arr[q2] > ... > arr[qr] 严格降序。
所有值 < arr[i]。
对于固定 i,左部分的数量是所有严格升序子序列的数量,元素来自 {arr[k] for k=0 to i-1},但只考虑值 < arr[i],并且子序列必须严格升序,索引递增,值递增。
由于索引递增,值也必须递增,所以是严格递增子序列。
类似地,对于右部分,元素来自 {arr[k] for k=i+1 to n-1}, 值 < arr[i], 子序列索引递增,但值必须严格递减。
所以,对于左部分,我需要计算在 arr[0..i-1] 中,值 < arr[i] 的严格递增子序列的数量。
但子序列包括空序列。
类似地,对于右部分,在 arr[i+1..n-1] 中,值 < arr[i] 的严格递减子序列的数量。
严格递减子序列,索引递增,值递减。
现在,对于左部分,设 L[i] 为在 arr[0..i-1] 中,值 < arr[i] 的严格递增子序列的数量。
类似地,对于右部分,R[i] 为在 arr[i+1..n-1] 中,值 < arr[i] 的严格递减子序列的数量。
然后,对于每个 i,以 arr[i] 为最大值的子序列数量是 L[i] * R[i] * 1,因为左部分任意选择,右部分任意选择,max 固定。
但左部分的数量包括空序列,所以当左部分空时,是1种方式(不选任何元素),类似地右部分。
所以是的。
然后总数量是 sum_{i=0}^{n-1} L[i] * R[i]
但 L[i] 和 R[i] 依赖于 i。
现在,我需要计算 L[i] 和 R[i] 对于每个 i。
首先,L[i]:在 arr[0..i-1] 中,值 < arr[i] 的严格递增子序列的数量。
这包括空序列。
类似地,R[i]:在 arr[i+1..n-1] 中,值 < arr[i] 的严格递减子序列的数量。
现在,问题是如何高效计算这些。
由于数组可能大,我需要 O(n^2) 或更好的方法。
计算所有位置的严格递增子序列数量。
一个标准方法是使用 DP 和 Fenwick 树或线段树来优化。
类似地用于递减。
首先,处理值:值可能很大,所以我可能需要坐标压缩。
但让我们先写出方程。
对于每个 i,L[i] = 1 + 所有以某个 k 结尾的严格递增子序列的数量,其中 k < i,arr[k] < arr[i],但等等。
L[i] 是子序列的数量,不一定以 i-1 结尾。
它是所有严格递增子序列的数量,这些子序列由索引小于 i 且值小于 arr[i] 的元素组成。
所以,对于索引范围 [0, i-1],值小于 arr[i]。
但值约束是 arr[k] < arr[i],其中 k < i。
现在,定义 f(j) 为在 arr[0..j] 中,以 arr[j] 结尾的严格递增子序列的数量。
但 L[i] 不是以 i 结尾的;它是所有子序列,包括不以特定位置结尾的。
所以,更好的方式:设 A 为 arr[0..i-1] 的子数组。
那么,L[i] 是 A 中所有严格递增子序列的数量,包括空序列。
这可以通过对所有位置 j < i,计算以 j 结尾的严格递增子序列的数量之和来得到,但只考虑 arr[j] < arr[i],并且我们需要值小于 arr[i]。
由于我们只考虑值小于 arr[i] 的元素,所以令 S = { k | 0 <= k < i and arr[k] < arr[i] }
那么,L[i] 是 S 中所有严格递增子序列的数量,包括空序列。
现在,S 中的元素是索引,但值 arr[k] 用于排序。
要计算一个集合中严格递增子序列的数量,我们可以使用 DP。
定义 dp_inc[j] 为在索引 j 处结尾的严格递增子序列的数量,其中 j 在 [0, i-1] 中,但只考虑值小于 arr[i] 的情况。
但 L[i] 是所有这样的子序列的总和,包括空序列。
所以,对于索引范围 [0, i-1],只考虑值小于 arr[i] 的元素,令这些位置为 k1, k2, ..., km,其中 k1 < k2 < ... < km 且 arr[k1] < arr[k2] < ... < arr[km]?不一定,索引顺序是固定的,但值可能不排序。
位置:对于所有满足 0 <= k < i 且 arr[k] < arr[i] 的 k。
现在,严格递增子序列:我们需要选择索引的子序列 p1 < p2 < ... < pt,其中 p 属于上述集合,并且 arr[p1] < arr[p2] < ... < arr[pt]。
这样的子序列数量。
这可以通过动态规划计算:对于每个位置,以该位置结尾的子序列数量。
但只考虑值小于 arr[i] 的位置。
所以,对于固定的 i,我可以在 O(i) 时间内计算 L[i],但那样对于所有 i 的总代价是 O(n^2),对于 n 很大时可能不够高效。
n 可能达到 10^5,所以 O(n^2) 太慢。
我需要更高效的方法。
类似地,对于 R[i]。
所以,我应该预处理一些东西。
首先,忽略值约束,计算所有位置左侧的严格递增子序列总数。
但值约束是特定于每个 i 的。
一个更好的方法是:考虑所有元素,并计算以每个位置结尾的严格递增子序列的数量。
定义 dp_inc[i] 为以索引 i 结尾的严格递增子序列的数量。
那么,dp_inc[i] = 1 + 所有满足 j < i 且 arr[j] < arr[i] 的 dp_inc[j] 的总和
初始:对于每个 i,dp_inc[i] 至少为 1(只包含单个元素)。
然后,所有递增子序列的总数(包括空序列)是 1 + 所有 dp_inc[i] 的总和,但等等,不对。
令 S_inc 为所有严格递增子序列的数量,包括空序列。
那么 S_inc = 1 + 所有 i 的 dp_inc[i] 的总和,因为每个非空子序列在某个 i 结束。
类似地,对于固定范围,但值有约束。
对于 L[i],我需要的是在索引范围 [0, i-1] 内,值小于 arr[i] 的元素组成的严格递增子序列的数量。
这类似于在查询值 arr[i] 时,前缀 [0, i-1] 中值小于 arr[i] 的递增子序列的数量。
但我需要对于每个 i 都计算这个。
所以,我可以在遍历 i 时,使用 Fenwick 树或线段树来维护。
让我定义在索引范围 [0, i-1] 中,值小于某个 v 的递增子序列的数量。
但 v 是 arr[i],它依赖于 i。
标准做法:当我处理到 i 时,我已经处理了 [0, i-1],并且我可以用树来查询值小于 arr[i] 的 dp_inc[j] 的总和。
但 L[i] 是子序列的数量,而不是以某个位置结尾的数量。
回忆一下:对于一个集合,严格递增子序列的数量(包括空序列)可以通过对所有位置 j 的以 j 结尾的递增子序列数量求和再加 1 得到(空序列)。
设 T 为索引集合,比如所有满足 k < i 且 arr[k] < arr[i] 的 k。
那么,L[i] = 1 + 所有 j 属于 T 的 dp_inc[j] 的总和,其中 dp_inc[j] 是以 j 结尾的递增子序列的数量,但 dp_inc[j] 是全局的,还是只针对该集合的?
dp_inc[j] 是定义在索引 j 上的,但当我们考虑子集时,我们需要在子集中定义。
但在这个例子中,对于索引范围 [0, i-1],并且只考虑值小于 arr[i] 的元素,所以对于这些 j,dp_inc_local[j] 表示在 [0, i-1] 中,以 j 结尾的严格递增子序列的数量,但仅考虑值小于 arr[i] 的元素,但既然我们已经过滤了,所有值都小于 arr[i],所以我们可以使用全局的 dp_inc,但只针对这些 j。
定义全局的 dp_inc[i],表示在所有元素中,以 i 结尾的严格递增子序列的数量,但只考虑索引 <= i,所以是前缀。
通常,dp_inc[i] 是通过所有满足 j < i 且 arr[j] < arr[i] 的 dp_inc[j] 的总和来计算的。
但那是针对所有元素的情况,没有值限制。
对于 L[i],在 [0, i-1] 中,值小于 arr[i] 的递增子序列的数量。
首先,集合 T = {j | 0 <= j < i 且 arr[j] < arr[i]}
那么,以 k 属于 T 结尾的递增子序列的数量是 dp_inc[k],但 dp_inc[k] 是全局的,并且包括所有更早的元素,这些元素可能值更小,但既然我们只考虑值小于 arr[i] 的元素,并且所有更早的 j 满足 arr[j] < arr[k] <= arr[i]?arr[k] < arr[i],但更早的元素可能更大,但 dp_inc[k] 只对满足 arr[j] < arr[k] 的 j 求和,所以如果 arr[k] < arr[i],那么所有在 dp_inc[k] 中的元素值都小于 arr[k] < arr[i],所以它们都在 T 中,因此没问题。
设 dp_inc[i] 表示在数组 [0..i] 中,以 i 结尾的严格递增子序列的数量,但只考虑索引 <= i。
更准确地说:当我们计算 dp_inc[i] 时,我们考虑所有 j < i 且 arr[j] < arr[i] 的情况。
对于 L[i],我们需要在 [0, i-1] 中,值小于 arr[i] 的递增子序列数量。
这包括空序列和所有以某个 k 结尾的序列,其中 k 属于 T。
所以,L[i] = 1 + 所有满足 k < i 且 arr[k] < arr[i] 的 dp_inc[k] 的总和
因为每个非空子序列都在某个 k 结束,而 dp_inc[k] 包含了所有以 k 结尾的序列。
而空序列由 1 表示。
类似地,对于右侧部分,但用于递减序列。
首先,对于递增部分。
所以,对于每个 i,L[i] = 1 + 所有满足 j < i 且 arr[j] < arr[i] 的 dp_inc[j] 的总和
但 dp_inc[j] 是定义在 j 上的,而 j < i。
现在,dp_inc[j] 本身是用于计算全局的以 j 结尾的递增子序列数量的。
但在这个总和中,对于 L[i],我们需要所有满足 j < i 且 arr[j] < arr[i] 的 j 的 dp_inc[j] 的总和。
类似地,对于右侧部分。
首先,我需要计算 dp_inc 数组。
定义 dp_inc[i] 为以索引 i 结尾的严格递增子序列的数量。
那么对于每个 i,dp_inc[i] = 1 + 所有满足 j < i 且 arr[j] < arr[i] 的 dp_inc[j] 的总和
其中 1 是只包含 arr[i] 的子序列。
然后,所有递增子序列的总数是 1 + 所有 dp_inc[i] 的总和(i 从 0 到 n-1),包括空序列。
但对于 L[i],如上所述,L[i] = 1 + 所有满足 j < i 且 arr[j] < arr[i] 的 dp_inc[j] 的总和
在计算 dp_inc[i] 时,我们恰好需要所有满足 j < i 且 arr[j] < arr[i] 的 dp_inc[j] 的总和。
所以,对于每个 i,当我们计算 dp_inc[i] 时,令 S_inc(i) = 所有满足 j < i 且 arr[j] < arr[i] 的 dp_inc[j] 的总和
那么 dp_inc[i] = 1 + S_inc(i)
而 L[i] = 1 + S_inc(i) ?不对。
L[i] 是对于 [0, i-1] 中值小于 arr[i] 的元素,但 S_inc(i) 是用于计算 dp_inc[i] 的总和,其中包含满足 j < i 且 arr[j] < arr[i] 的 dp_inc[j],但 j 在 [0, i-1] 中,并且 arr[j] < arr[i],所以 S_inc(i) 是 [0, i-1] 中所有满足 arr[j] < arr[i] 的 dp_inc[j] 的总和。
那么 L[i] = 1 + S_inc(i)
因为 L[i] = 1 + 所有满足条件的 j 的 dp_inc[j] 的总和
而 S_inc(i) 正好是那个总和。
但 S_inc(i) 是在计算 dp_inc[i] 时定义的。
对于 L[i],当 i 是最大值索引时,我们需要 L[i] 用于子序列,其中最大值在 i,所以对于 L[i],我们考虑的是 [0, i-1] 中值小于 arr[i] 的元素,所以是的。
在表达式 L[i] = 1 + S_inc(i) 中
S_inc(i) 依赖于 i。
类似地,对于右侧部分,我们需要 R[i],即在 [i+1, n-1] 中,值小于 arr[i] 的严格递减子序列的数量。
首先,定义递减部分。
定义 dp_dec[i] 为以索引 i 结尾的严格递减子序列的数量。
但递减子序列:索引递增,值递减。
所以,对于以 i 结尾的严格递减子序列,dp_dec[i] = 1 + 所有满足 j > i 且 arr[j] < arr[i] 的 dp_dec[j] 的总和?不对。
如果子序列是严格递减的,并且索引递增,那么对于以 i 结尾的序列,我们需要在 i 之后的元素,但值更小?我们来定义一下。
设我们有一个子序列,索引为 ... , p, q, i,其中 p < q < i,并且 arr[p] > arr[q] > arr[i],用于递减序列?不对。
对于严格递减子序列,索引递增,值递减,所以序列是 arr[j1] > arr[j2] > ... > arr[jk],其中 j1 < j2 < ... < jk。
所以,对于以索引 i 结尾的情况,我们需要在 i 之后、值小于 arr[i] 的元素?不对。
如果子序列以 i 结尾,并且索引递增,那么 i 是最后一个索引,所以前面的元素必须在 i 之前,索引更小,但值更大,因为是递减的。
例如,子序列:索引 j < k < i,并且 arr[j] > arr[k] > arr[i]。
所以对于以 i 结尾的严格递减子序列,dp_dec[i] = 1 + 所有满足 j < i 且 arr[j] > arr[i] 的 dp_dec[j] 的总和?但 dp_dec[j] 是以 j 结尾的,所以对于组合,我们需要在 j 和 i 之间的元素。
标准方式:dp_dec[i] 表示以索引 i 结尾的严格递减子序列的数量。
那么,对于每个 i,dp_dec[i] = 1 + 所有满足 j < i 且 arr[j] > arr[i] 的 dp_dec[j] 的总和
因为对于每个 j < i 且 arr[j] > arr[i],我们可以将 i 附加到所有以 j 结尾的递减子序列之后,并且由于 arr[j] > arr[i],序列保持递减。
此外,还有只包含 i 的子序列。
所以,是的,dp_dec[i] = 1 + 所有满足 j < i 且 arr[j] > arr[i] 的 dp_dec[j] 的总和
但顺序是索引递增,值递减。
对于 R[i],我们需要在索引范围 [i+1, n-1] 中,值小于 arr[i] 的严格递减子序列的数量。
所以,对于右侧部分。
令 U = {k | i+1 <= k <= n-1 且 arr[k] < arr[i]}
那么,R[i] 是 U 中所有严格递减子序列的数量,包括空序列。
所以,R[i] = 1 + 所有满足 k 属于 U 的 dp_dec[k] 的总和,其中 dp_dec[k] 是以 k 结尾的严格递减子序列的数量,但仅考虑索引在 [i+1, n-1] 范围内的元素。
但是 dp_dec[k] 是全局的,可能包含索引在 i 之前或之后的元素,但当我们计算 dp_dec[k] 时,对于 k > i,它可能包含索引在 [0, k] 之间的元素,但我们需要只包含索引在 [i+1, n-1] 范围内且值小于 arr[i] 的元素。
所以,对于 R[i],我们需要的是在索引范围 [i+1, n-1] 中,值小于 arr[i] 的局部定义。
定义后缀的 dp_dec。
由于我们需要对每个 i 计算 R[i],并且 i 在减少,所以最好从右向左处理。
定义 dp_dec_right[i] 为在索引范围 [i, n-1] 中,以 i 结尾的严格递减子序列的数量,但值小于某个值,但我们需要的是子序列的数量,而不是以 i 结尾的。
对于 R[i],在索引范围 [i+1, n-1] 中,值小于 arr[i] 的严格递减子序列的数量。
令 V = {k | i+1 <= k <= n-1 且 arr[k] < arr[i]}
那么 R[i] = 1 + 所有 k 属于 V 的 dec_local[k] 的总和,其中 dec_local[k] 是在 [i+1, n-1] 中,以 k 结尾的严格递减子序列的数量,但只考虑值小于 arr[i] 的元素,但既然 V 中的元素值都小于 arr[i],所以我们可以定义该范围内的局部 dp_dec。
但为了高效,我们可以使用树。
类似左侧,但用于递减。
对于右侧部分,定义 S_dec(i) 为所有满足 k > i 且 arr[k] < arr[i] 的 dp_dec[k] 的总和,但 dp_dec[k] 是全局的,并且可能包含值大于 arr[i] 的元素,但当我们包含 k 时,arr[k] < arr[i],并且 dp_dec[k] 只包含值小于 arr[k] 的序列,因此所有值都小于 arr[k] < arr[i],所以没问题。
定义全局的 dp_dec[i],如上所述:dp_dec[i] = 1 + 所有满足 j < i 且 arr[j] > arr[i] 的 dp_dec[j] 的总和
但对于 R[i],我们需要在 [i+1, n-1] 中,值小于 arr[i] 的递减子序列的数量。
所以,对于 k > i 且 arr[k] < arr[i],以 k 结尾的递减子序列的数量是 dp_dec[k],但 dp_dec[k] 可能包含索引小于 i 的元素,但值上,由于 arr[k] < arr[i],并且序列是递减的,所以所有元素的值都小于 arr[k] < arr[i],所以它们都小于 arr[i],但索引可能小于 i,而我们需要索引在 [i+1, n-1] 之间。
问题:在 dp_dec[k] 中,序列可能包含索引在 i 之前的元素,但 R[i] 要求所有元素索引在 i 之后。
所以,对于 R[i],我们不能使用全局的 dp_dec,因为它包含索引在 i 之前的元素。
例如,假设 k > i,arr[k] < arr[i],全局 dp_dec[k] 包括一个序列,其中包含索引 j < i 且 arr[j] > arr[k] 的元素,但 j < i,所以对于 R[i],我们只想要索引 >= i+1 的元素,因此该序列无效,因为它包含索引小于 i 的元素。
所以,对于 R[i],我们需要在索引范围 [i+1, n-1] 中定义局部递减子序列,只使用该范围内的元素。
类似地,对于 L[i],在 [0, i-1] 中,我们使用索引在 0 到 i-1 之间的元素,所以没问题,因为当我们计算 L[i] 时,只考虑 j < i,所以索引在 i 之前。
但对于 R[i],索引在 i 之后,所以我们需要后缀的局部定义。
所以,对于右侧部分,我需要单独处理。
让我定义后缀的 dp。
让我从右向左处理数组。
定义 dp_dec_suffix[i] 为在索引范围 [i, n-1] 中,以 i 结尾的严格递减子序列的数量。
那么,对于每个 i,dp_dec_suffix[i] = 1 + 所有满足 j > i 且 arr[j] < arr[i] 的 dp_dec_suffix[j] 的总和?等等。
对于以 i 结尾的递减子序列,索引递增,值递减,所以对于在 i 之后的元素,索引 j > i,但值 arr[j] < arr[i],并且序列是递减的,所以我们需要 arr[j] < arr[i],然后我们可以将 i 放在前面?等等。
序列:如果索引递增,值递减,那么对于以 i 结尾的子序列,前一个元素必须在左侧,索引更小,但值更大。
但对于后缀 [i, n-1],如果我们想要以 i 结尾的递减子序列,我们需要在 i 之后、索引大于 i 的元素,但值更小,这样我们才能附加在 i 之后?不是。
定义:子序列的索引序列为 p1, p2, ..., pt,其中 p1 < p2 < ... < pt,并且 arr[p1] > arr[p2] > ... > arr[pt]。
如果序列以 i 结尾,则 pt = i。
那么前一个元素 pt-1 必须满足 pt-1 < pt 且 arr[pt-1] > arr[pt],并且 pt-1 在范围内。
对于后缀 [i, n-1],索引都 >= i,所以对于以 i 结尾的子序列,它只能是单个元素,或者包含索引在 i 和 j 之间的元素,其中 j > i,但值 arr[j] > arr[i]?不是。
例如,在 [i, n-1] 中,一个子序列:k, i,其中 k > i,但索引 k > i,所以序列是 k 然后 i,但索引递增,k < i?k > i,所以索引顺序是 k, i,但 k > i,所以索引是递减的,但子序列必须保持原始顺序,所以索引必须递增,因此我们无法在子序列中先有 k 再有 i,如果 k > i 的话。
错误。
子序列中元素的顺序:索引必须递增,所以对于索引,如果 p < q,则 arr[p] 在子序列中出现在 arr[q] 之前。
所以对于严格递减子序列,索引递增,值递减,所以对于两个元素,如果 j < k,则 arr[j] > arr[k]。
对于以 i 结尾的子序列,索引序列为 ... , j, i,其中 j < i,并且 arr[j] > arr[i]。
但在后缀 [i, n-1] 中,所有索引都 >= i,所以对于以 i 结尾的子序列,它只能是单个元素,因为如果还有另一个元素,它必须在 i 之后,索引更大,但在子序列中,它会在 i 之后,所以 i 不是结尾。
在索引范围 [i, n-1] 中,以 i 结尾的子序列意味着没有元素在 i 之后,或者序列以 i 结尾。
但如果我们只取 [i, n-1] 中的元素,并且以 i 结尾,那么 i 必须是子序列中的最后一个索引,所以所有其他元素必须在 i 之前,但索引 >= i,所以只有 i 本身是可能的,或者索引在 i 之后,但索引更大,所以它们会在子序列中出现在 i 之后,因此 i 就不是结尾。
因此,在索引范围 [i, n-1] 中,唯一以 i 结尾的子序列就是单个元素 [i] 本身,因为没有更早的索引。
所以 dp_dec_suffix[i] = 1 对于所有 i,如果我们只考虑该后缀,但这样就没意义了。
对于递减子序列,在范围 [i, n-1] 中,以 i 结尾的序列,但由于索引 >= i,并且索引递增,i 是可能的最小索引,所以它必须是子序列中的第一个元素,而不是最后一个。
我搞错了“以 i 结尾”的意思。
在子序列中,“以 i 结尾”意味着在子序列中,i 是最后一个元素,所以索引上,所有其他元素都小于 i。
但对于后缀 [i, n-1],索引都 >= i,所以如果子序列以 i 结尾,则不能有索引 > i 的元素,因为它们在子序列中会在 i 之后。
所以,对于后缀 [i, n-1],以 i 结尾的子序列只能是 {i} 本身,因为任何其他元素都会在 i 之后。
因此,对于范围 [i, n-1],严格递减子序列的数量不能定义为以索引结尾,因为“结尾”索引是较小的,但范围从 i 开始。
更好的方式是从左到右处理递减序列,但索引递增。
对于严格递减子序列,索引递增,值递减,所以序列从左到右是递减的。
所以对于范围 [L, R],递减子序列的数量可以通过从右向左处理来计算,其中“以 i 开始”之类的。
定义 dp_dec_start[i] 为在索引范围 [i, n-1] 中,以 i 开头的严格递减子序列的数量。
那么,对于每个 i,dp_dec_start[i] = 1 + 所有满足 j > i 且 arr[j] < arr[i] 的 dp_dec_start[j] 的总和
因为我们可以将 i 放在以 j 开头的子序列前面,前提是 arr[i] > arr[j]。
此外,还有仅包含 i 的子序列。
然后,对于索引范围 [i, n-1] 的所有递减子序列的数量是 1 + 所有 k 属于 [i, n-1] 的 dp_dec_start[k] 的总和,但等等。
所有递减子序列的数量包括空序列和所有以某个 k 开头的序列。
所以对于范围 [L,R],dec_sub(L,R) = 1 + 所有 k 属于 [L,R] 的 dp_dec_start[k] 的总和
其中 dp_dec_start[k] 是以 k 开头的递减子序列的数量。
对于 R[i],我们需要在 [i+1, n-1] 中,值小于 arr[i] 的递减子序列的数量。
所以,令 W = {k | i+1 <= k <= n-1 且 arr[k] < arr[i]}
那么 R[i] = 1 + 所有 k 属于 W 的 dp_dec_start[k] 的总和
其中 dp_dec_start[k] 是在范围 [i+1, n-1] 中,以 k 开头的递减子序列的数量,但值小于 arr[i],但既然 W 中的元素值都小于 arr[i],并且对于 dp_dec_start[k],所有元素值都小于 arr[k] < arr[i],所以可以。
但 dp_dec_start[k] 是全局的,用于后缀 [k, n-1],但我们需要范围是 [i+1, n-1],所以对于 k > i,后缀 [k, n-1] 是 [i+1, n-1] 的子集,因此可以,但 dp_dec_start[k] 包含的元素索引 >= k > i,所以都在 [i+1, n-1] 范围内,所以对于 R[i],当我们取 k 属于 W 时,dp_dec_start[k] 只使用索引 >= k > i 的元素,因此所有索引都在 [i+1, n-1] 中,且值小于 arr[k] < arr[i],所以符合 R[i] 的要求。
因此,R[i] = 1 + 所有满足 k > i 且 arr[k] < arr[i] 的 dp_dec_start[k] 的总和
类似地,对于左侧部分,L[i] = 1 + 所有满足 j < i 且 arr[j] < arr[i] 的 dp_inc[j] 的总和
其中 dp_inc[j] 是以 j 结尾的递增子序列的数量。
现在,对于 dp_inc,我们使用标准 DP 和 Fenwick 树,从 left to right。
对于 dp_dec_start,我们使用从 right to left 的 DP。
首先,定义 dp_inc[i]:以索引 i 结尾的严格递增子序列的数量。
dp_inc[i] = 1 + 所有满足 j < i 且 arr[j] < arr[i] 的 dp_inc[j] 的总和
这可以通过在值上使用 Fenwick 树或线段树来实现,在遍历时进行点更新和范围查询。
类似地,对于 dp_dec_start[i]:以索引 i 开头的严格递减子序列的数量。
dp_dec_start[i] = 1 + 所有满足 j > i 且 arr[j] < arr[i] 的 dp_dec_start[j] 的总和
这可以通过从右向左遍历,使用另一棵树来实现。
然后,对于每个 i,L[i] = 1 + 所有满足 j < i 且 arr[j] < arr[i] 的 dp_inc[j] 的总和
但所有满足 j < i 且 arr[j] < arr[i] 的 dp_inc[j] 的总和正是我们在计算 dp_inc[i] 时得到的 S_inc(i)
并且由于 dp_inc[i] = 1 + S_inc(i),所以 S_inc(i) = dp_inc[i] - 1
因此 L[i] = 1 + S_inc(i) = 1 + (dp_inc[i] - 1) = dp_inc[i]
L[i] = dp_inc[i]?
但 dp_inc[i] 是以 i 结尾的递增子序列的数量,而 L[i] 是 [0, i-1] 中值小于 arr[i] 的所有递增子序列的数量。
例如,假设 i=0,那么 [0, -1] 为空,所以 L[0] = 1(空序列)
dp_inc[0] = 1(仅包含单个元素 [0])
所以 L[0] =1,dp_inc[0] =1,相同。
对于 i=1,arr 有两个元素。
假设 arr = [1,2]
对于 i=1,L[1] = 在 [0,0] 中值小于 arr[1]=2 的递增子序列的数量:索引 0,值 1<2,所以子序列有:空序列,[1],所以 L[1] = 2
dp_inc[1]:以 1 结尾的递增子序列的数量: [2], [1,2],所以是 2。
而 S_inc(1) = 所有满足 j<1 且 arr[j]<2 的 dp_inc[j] 的总和:j=0,dp_inc[0]=1,所以 S_inc(1) =1,L[1] =1 + S_inc(1) =1+1=2,dp_inc[1] =1 + S_inc(1) =2。
所以 L[i] = dp_inc[i]?但 dp_inc[i] 是以 i 结尾的,而 L[i] 是前缀中值较小的子序列数量。
在 L[i] 中,子序列不能包含 i,只包含索引 < i 且值 < arr[i] 的元素。
在 dp_inc[i] 中,它包含 i,但在计算中,对于 L[i],当 i 是最大值时,我们不包含 i,只包含左侧部分。
在表达式 L[i] = 1 + sum_{j< i, arr[j]<arr[i]} dp_inc[j] 中,而 dp_inc[j] 是以 j 结尾的,j < i,所以不包含 i。
在例子中,对于 i=1,L[1] =2,包括空序列和 [1]。
dp_inc[1] =2,包括 [2] 和 [1,2],但 [2] 包含 arr[1],而 L[1] 只包含索引 <1 的元素,所以不包含 arr[1]。
所以 L[i] 和 dp_inc[i] 不同,但数值上,对于 i=1,L[1]=2,dp_inc[1]=2,但 L[1] 包含 [1],它是以 j=0 结尾的,而 dp_inc[1] 包含 [2] 和 [1,2]。
所以数值相同,但含义不同。
另一个例子,arr = [3,1],i=1。
L[1]:在 [0,0] 中值小于 arr[1]=1 的 j:arr[0]=3 >1,所以没有 j,因此 L[1] =1(只有空序列)
dp_inc[1]:以 1 结尾的递增子序列: [1],所以是 1。
S_inc(1) = 所有满足 j<1 且 arr[j]<1 的 dp_inc[j] 的总和:j=0,arr[0]=3>1,所以没有,总和为0,L[1] =1 +0 =1。
dp_inc[1] =1 + S_inc(1) =1+0=1。
所以 L[i] = dp_inc[i] 在数值上成立,但 dp_inc[i] 包含以 i 结尾的序列,而 L[i] 不包含 i,但数值上,由于 S_inc(i) 和 dp_inc[i] 的关系,L[i] = dp_inc[i]。
L[i] =1 + S_inc(i),而 dp_inc[i] =1 + S_inc(i),所以是的,L[i] = dp_inc[i]。
但 L[i] 是 [0,i-1] 中值小于 arr[i] 的递增子序列的数量,而 dp_inc[i] 是以 i 结尾的递增子序列的数量,它们数值相同,但概念不同。
在计算中,我们可以使用 L[i] = dp_inc[i],但 dp_inc[i] 依赖于 S_inc(i),而 S_inc(i) 是 j<i 的 dp_inc[j] 的总和。
对于右侧部分,类似地,R[i] = 1 + 所有满足 k>i 且 arr[k]<arr[i] 的 dp_dec_start[k] 的总和
而 dp_dec_start[k] 是以 k 开头的递减子序列的数量。
现在,定义 S_dec(i) = 所有满足 k>i 且 arr[k]<arr[i] 的 dp_dec_start[k] 的总和
那么 R[i] = 1 + S_dec(i)
但 S_dec(i) 是用于 R[i] 的总和。
现在,对于原始问题,对于每个 i,以 i 为最大值的子序列数量是 L[i] * R[i]
其中 L[i] = dp_inc[i] 如上所述
但 L[i] 是左侧部分的数量,其中包括空序列,并且所有元素值 < arr[i],索引 < i。
类似地,R[i] 是右侧部分的数量。
然后,对于每个 i,贡献为 L[i] * R[i]
然后,总数量为 sum_{i=0}^{n-1} L[i] * R[i]
但 L[i] = dp_inc[i],而 dp_inc[i] 是以 i 结尾的递增子序列的数量,但在我们的情况下,对于固定 i,L[i] 用于左侧部分,不包含 i。
在贡献中,对于最大值在 i 的情况,我们有 L[i] 和 R[i] 的选择,然后最大值在 i。
所以,是的。
现在,我们需要计算每个 i 的 dp_inc[i] 和 dp_dec_start[i]。
首先,对于 dp_inc:从左到右处理。
我们需要一个 Fenwick 树或线段树,用于值域上的范围求和。
由于值可能很大,进行坐标压缩。
类似地,对于 dp_dec_start,从右到左处理。
然后,对于每个 i,L[i] = dp_inc[i]
但 dp_inc[i] 是以 i 结尾的递增子序列的数量,而 L[i] 是 [0, i-1] 中值小于 arr[i] 的递增子序列的数量,但如上所述,它们在数值上相等。
在代码中,我们可以设置 L[i] = dp_inc[i]
类似地,对于右侧,R[i] = 1 + 所有满足 k>i 且 arr[k]<arr[i] 的 dp_dec_start[k] 的总和
现在,对于每个 i,我们需要计算 S_dec(i) = 所有满足 k>i 且 arr[k]<arr[i] 的 dp_dec_start[k] 的总和
这可以通过使用 Fenwick 树从右向左处理,在值域上查询。
但在计算 R[i] 时,当我们在 i 时,我们需要所有 k>i 的 dp_dec_start[k],但 dp_dec_start[k] 是用于 k 的,所以当我们处理到 i 时,k>i 的 dp_dec_start[k] 可能尚未计算,如果我们是从左到右处理,但我们需要从右到左处理 dp_dec_start。
顺序:首先,计算 dp_inc 和 dp_dec_start 数组。
对于 dp_inc:从左到右遍历,对于每个 i,查询值域 [0, arr[i]-1] 的 dp_inc[j] 的总和,然后设置 dp_inc[i] = 1 + 该总和,并更新树在位置 arr[i] 的值,增加 dp_inc[i]。
类似地,对于 dp_dec_start:从右到左遍历,对于每个 i,查询值域 [0, arr[i]-1] 的 dp_dec_start[j] 的总和(对于 j>i),但等等。
dp_dec_start[i] = 1 + 所有满足 j>i 且 arr[j] < arr[i] 的 dp_dec_start[j] 的总和
所以对于值域,我们需要查询值小于 arr[i] 的索引的 dp_dec_start 的总和。
由于索引 j>i,并且我们从右向左遍历,当我们处理 i 时,所有 j>i 的 dp_dec_start 已经计算并更新到树中。
所以,从右向左,初始化树。
对于每个 i,从大到小,查询值域 [0, arr[i]-1] 的 dp_dec_start 的总和,然后 dp_dec_start[i] = 1 + 该总和,然后更新树在位置 arr[i] 的值,增加 dp_dec_start[i]。
然后,在计算了 dp_inc 和 dp_dec_start 之后,对于每个 i,我们有 L[i] = dp_inc[i]
但 L[i] 用于左侧部分,而 dp_inc[i] 包含 i,但数值上没问题。
然后 R[i] = 1 + 所有满足 k>i 且 arr[k]<arr[i] 的 dp_dec_start[k] 的总和
现在,所有满足 k>i 且 arr[k]<arr[i] 的 dp_dec_start[k] 的总和,可以通过在值域上使用 Fenwick 树查询,但我们需要在固定 i 时进行查询。
在计算了所有 dp_dec_start 之后,我们可以为后缀的 dp_dec_start 值构建一棵树。
由于我们需要对每个 i 进行查询,并且 i 是变化的,所以最好在计算了所有 dp_dec_start 之后,使用一棵 Fenwick 树来存储值,然后按索引顺序处理 i,但值域是值。
对于每个 i,要计算 S_dec(i) = 所有满足 k>i 且 arr[k]<arr[i] 的 dp_dec_start[k] 的总和
这可以通过在值域上使用 Fenwick 树来实现,其中存储了所有 k 的 dp_dec_start[k],但仅限于 k>i,因此我们需要在查询时排除 k<=i 的值,但值域是值,而不是索引。
所以,我们需要将索引和值联系起来。
一个方法是:首先,按索引顺序,但为了后缀,我们可以从右向左处理。
在从右向左计算 dp_dec_start 的过程中,当我们处理 i 时,所有 j>i 的 dp_dec_start 已经更新到树中,所以对于 S_dec(i),它类似于在计算 dp_dec_start[i] 时的查询,但 S_dec(i) 是用于 R[i] 的,而查询是用于 dp_dec_start[i] 的。
对于 dp_dec_start[i],我们查询所有满足 j>i 且 arr[j]<arr[i] 的 dp_dec_start[j] 的总和,但 j>i 且 arr[j]<arr[i],所以该总和是 S 的一部分。
但用于 R[i],S_dec(i) = 所有满足 k>i 且 arr[k]<arr[i] 的 dp_dec_start[k] 的总和,这正是我们在计算 dp_dec_start[i] 时进行的相同查询。
设 T_dec(i) = 所有满足 j>i 且 arr[j]<arr[i] 的 dp_dec_start[j] 的总和
那么 dp_dec_start[i] = 1 + T_dec(i)
而 R[i] = 1 + S_dec(i) = 1 + T_dec(i) 因为 S_dec(i) = T_dec(i)
所以 R[i] = 1 + T_dec(i)
但 dp_dec_start[i] = 1 + T_dec(i),所以 R[i] = dp_dec_start[i]
类似地,对于左侧,L[i] = dp_inc[i]
所以,对于每个 i,L[i] = dp_inc[i],R[i] = dp_dec_start[i]
那么以 i 为最大值的子序列数量是 L[i] * R[i] = dp_inc[i] * dp_dec_start[i]
然后总数量是 sum_{i} dp_inc[i] * dp_dec_start[i] mod 998244353
在左侧部分,L[i] = dp_inc[i] 是 [0,i-1] 中值小于 arr[i] 的递增子序列的数量,其中包括以索引 j < i 结尾的子序列,所有值都小于 arr[i]。
右侧部分也是类似情况。
在贡献中,对于最大值在 i 的情况,我们有 L[i] 种方式选择左侧部分,R[i] 种方式选择右侧部分,然后最大值在 i,所以是 L[i] * R[i]。
而 L[i] 和 R[i] 都包括空序列。
例如,如果左右都为空,那么子序列就是 [i] 本身,只有一个元素。
如果左边有元素,右边为空,等等。
所以是的。
现在,在计算中,我们需要在值域上使用 Fenwick 树,所以首先对值进行坐标压缩。
步骤:
1. 对数组 arr 进行坐标压缩,这样值在 1 到 m 之间(1-indexed 用于 Fenwick 树)。
2. 初始化两个 Fenwick 树,一个用于递增,一个用于递减。
3. 计算 dp_inc:
- 从左到右遍历 i
- 查询值域 [1, arr[i]-1] 的 dp_inc 总和,令 sum_inc = query(1, comp(arr[i])-1)
- dp_inc[i] = 1 + sum_inc
- 在树中更新位置 comp(arr[i]),增加 dp_inc[i]
4. 计算 dp_dec_start:
- 从右到左遍历 i
- 查询值域 [1, arr[i]-1] 的 dp_dec_start 总和,令 sum_dec = query(1, comp(arr[i])-1)
- dp_dec_start[i] = 1 + sum_dec
- 在树中更新位置 comp(arr[i]),增加 dp_dec_start[i]
5. 对于每个 i,计算贡献:contribution[i] = dp_inc[i] * dp_dec_start[i] mod mod
6. 总和 = 所有 contribution[i] 的总和 mod mod
7. 输出总和
但 dp_inc[i] 和 dp_dec_start[i] 可能很大,所以我们在计算时取模。
此外,对于空序列,当没有元素时,但在这个问题中,子序列可能为空吗?可能不行,因为子序列通常至少包含一个元素,但在我们的情况中,对于单元素子序列,它应该被包含。
例如,单个元素:最大值就是它自己,左边和右边都为空,所以 L[i] 包含空序列,R[i] 也包含空序列,因此 L[i] * R[i] 包括 1*1 =1 对于单个元素。
在总和中,对于每个 i,当子序列只有 [i] 时,它被包含在 i 的贡献中。
如果子序列有多个元素,但最大值在 i,等等。
但子序列至少有一个元素,所以当 L[i] 和 R[i] 都为空时,子序列为 [i],没问题。
但空子序列呢?它没有最大值,所以不被包含,这很好,因为在我们的总和中,我们没有添加空序列。
在定义中,L[i] 包括空序列,但当我们乘以 R[i] 时,对于每个 i,我们得到的是以 i 为最大值的非空子序列,所以所有子序列至少有一个元素。
而空子序列不被包含,因为没有最大值。
所以,在总和中,我们得到了所有满足条件的非空子序列。
现在,在计算中,对于索引,我们需要处理边界。
在 Fenwick 树中,我们使用 1-indexed。
另外,当 arr[i] 是最小值时,查询 [1, arr[i]-1] 可能为空,所以 sum=0。
类似地,当是最大值时。
在压缩中,值从 1 开始。
在左侧部分,对于 i=0,没有左边元素,所以 L[0] 应该是 1(空序列),并且 dp_inc[0] =1,因为单个元素。
类似地,对于 i=n-1,没有右边元素,R[n-1] =1。
在代码中,它应该可以工作。
现在,关于取模:mod = 998244353
所有操作都要取模。
现在,在树中,更新和查询也要取模。
最后,输出总和。
但让我用一个小例子来确认。
假设数组: [1]
n=1
i=0: L[0] =1 (空序列), R[0]=1, 贡献=1*1=1
子序列: [1] 应该成立。
是的。
另一个例子: [1,2]
i=0: 最大值在0, 左边: 空, L[0]=1
右边: 索引1, arr[1]=2>1? 但值必须 < arr[0]=1, arr[1]=2>1, 所以没有元素, R[0]=1 (空)
贡献: 1*1=1
但子序列 [1] 是成立的。
i=1: 最大值在1, 左边: 索引0, arr[0]=1<2, 所以递增子序列: 空, [1], 所以 L[1]=2
右边: 空, R[1]=1
贡献: 2*1=2
子序列: [2] 和 [1,2]
[1,2]: 最大值在2, 左边 [1] 递增, 右边空。
是的。
总子序列: 对于 i=0: [1], i=1: [2], [1,2], 所以总共3个。
但 [1] 在 i=0 时计数,[2] 在 i=1 时计数,[1,2] 也在 i=1 时计数。
现在,还有更多吗?[1] 是单独的吗?是的。
但子序列 [1] 和 [2] 是单元素,[1,2] 是双元素。
全部满足条件。
另一个例子: [2,1]
i=0:最大值在 0,左边:空,L[0]=1
右边:索引 1,arr[1]=1<2,所以对于 R[0],在 [1,1] 中,值小于 2 的递减子序列:索引 1,值 1<2,递减子序列:空,[1],所以 R[0]=2?但等等。
对于 R[0],在索引 [1,1] 中,值小于 arr[0]=2 的元素,只有索引 1,值 1<2。
严格递减子序列:空序列,[1],所以 R[0]=2
然后贡献:L[0] * R[0] = 1 * 2 = 2
子序列:当最大值在 0 时,[2] 本身,以及 [2,1],其中左边为空,右边为 [1]。
[2,1]:最大值是 2,左边为空,右边 [1] 是降序,是的。
i=1:最大值在 1,左边:索引 0,arr[0]=2>1?但值必须 < arr[1]=1,arr[0]=2>1,所以没有元素,L[1]=1(空)
右边:空,R[1]=1
贡献:1*1=1,子序列 [1]
总贡献:i=0 时为 2([2] 和 [2,1]),i=1 时为 1([1]),所以总共 3 个子序列。
[2]、[1]、[2,1]。
全部合理。
在 [2,1] 中,当 i=0 时,R[0]=2,因为右边部分有 [1] 和空序列。
是的。
现在,在算法中,对于 [2,1],压缩值:假设值 1 和 2,comp: 1->1, 2->2。
dp_inc:
i=0:arr[0]=2,查询值 [1,1](因为 comp(arr[i])-1=2-1=1),值 1 到 1 的总和,但还没有值,sum_inc=0,dp_inc[0]=1+0=1,在位置 2 更新值为 1。
i=1:arr[1]=1,查询 [1,0] 为空,sum_inc=0,dp_inc[1]=1+0=1,在位置 1 更新值为 1。
dp_dec_start:
i=1:arr[1]=1,查询值 [1,0] 为空,sum_dec=0,dp_dec_start[1]=1+0=1,在位置 1 更新值为 1。
i=0:arr[0]=2,查询 [1,1](comp=1 到 1),位置 1 的总和是 dp_dec_start[1]=1,所以 sum_dec=1,dp_dec_start[0]=1+1=2,在位置 2 更新值为 2。
然后对于每个 i 的贡献:i=0:dp_inc[0] * dp_dec_start[0] = 1 * 2 = 2
i=1:1 * 1 = 1
总和 = 3,正确。
另一个测试: [1,3,2]
子序列:单元素:[1],[3],[2]
两个元素:[1,3],最大值3在索引1,左边[1]递增,右边无。
[1,2],但最大值?如果子序列是[1,2],最大值是2,左边[1]在索引0<索引1?索引:索引0和2,但顺序:在子序列中,位置:第一个元素索引0,值1,然后索引2,值2,所以最大值是2在结尾,左边[1]递增,右边无。所以最大值在索引2?索引是0和2,最大值在索引2。
在完整数组中,索引0:1,1:3,2:2
子序列[1,2]:元素索引0和2,值1和2,最大值是2在索引2,左边[1]递增(索引0<2),右边无。
[3,2]:索引1和2,值3和2,最大值3在索引1,左边无,右边[2]递减。
[1,3,2]:最大值3在索引1,左边[1]递增,右边[2]递减。
现在,三个元素:[1,3,2] 如上所述。
还有,[1,2] 如上所述。
现在,列出所有满足条件的子序列:
- 单个元素:全部三个:[1],[3],[2]
- 两个元素:[1,3]:最大值3在索引1,左边[1],右边无
[3,2]:最大值3在索引1,左边无,右边[2]
[1,2]:最大值2在索引2,左边[1],右边无
[2] 是单个元素。
[1,3] 和 [3,2] 是双元素。
[1,2] 是双元素,索引0和2。
- 三个元素:[1,3,2]
现在,还有更多吗?[1,3] 等等。
现在,在算法中:
arr = [1,3,2]
压缩:值 1,2,3 对应索引 1,2,3?值:1,3,2,排序后:1,2,3,所以 comp: 1->1, 2->2, 3->3?但 3 在索引1,2 在索引2。
值:设 v:1,3,2,排序后为 1,2,3,所以 comp[1]=1, comp[3]=3, comp[2]=2?索引:位置0的值是1,位置1的值是3,位置2的值是2。
压缩后:值:pos0:1, pos1:3, pos2:2,所以压缩值:c[0]=1, c[1]=3, c[2]=2。
但值映射:1->1, 2->2, 3->3。
dp_inc:
i=0:c[0]=1,查询 [1,0] 为空,sum=0,dp_inc[0]=1,在树中位置1更新值为1
i=1:c[1]=3,查询 [1,2](值1到2),位置1的总和是1(来自i=0),所以 sum_inc=1,dp_inc[1]=1+1=2,在位置3更新值为2
i=2:c[2]=2,查询 [1,1](值1),位置1的总和是1,sum_inc=1,dp_inc[2]=1+1=2,在位置2更新值为2
现在 dp_dec_start:
从右到左
i=2:c[2]=2,查询 [1,1](值1),但还没有,sum_dec=0,dp_dec_start[2]=1,在树中位置2更新值为1
i=1:c[1]=3,查询 [1,2](值1到2),位置1没有值?位置2有值1(来自i=2),所以值1到2的总和:位置2的值是1,但值2对应位置2?树中值:位置2的值是1,但值范围:查询值<=2-1=2?查询值 [1,2],值1和2。
位置:值1:无,值2:在位置2有1,所以总和=1,所以 sum_dec=1,dp_dec_start[1]=1+1=2,在位置3更新值为2
i=0:c[0]=1,查询 [1,0] 为空,sum_dec=0,dp_dec_start[0]=1+0=1,在位置1更新值为1
现在,贡献:
i=0:L[0] * R[0] = dp_inc[0] * dp_dec_start[0] =1 *1=1 // [1]
i=1:2 * 2=4 // 对于最大值在1:子序列:[3], [1,3], [3,2], [1,3,2]
[3]:左边空,右边空
[1,3]:左边 [1],右边空
[3,2]:左边空,右边 [2]
[1,3,2]:左边 [1],右边 [2]
是的,四个。
i=2:2 *1=2 // 对于最大值在2:子序列 [2] 和 [1,2]
[2]:左边空,右边空
[1,2]:左边 [1],右边空
是的。
总和:i=0:1,i=1:4,i=2:2,总共7。
但之前我列出了子序列:[1]、[3]、[2]、[1,3]、[3,2]、[1,2]、[1,3,2],一共7个。
全部覆盖。
在 i=1 时,贡献为4,包括 [3] 和组合。
完美。
所以算法正确。
现在,在代码中,我们需要实现 Fenwick 树。
由于问题要求生成相关问题,但首先,我需要提供解决方案。
用户要求代码,但在这个上下文中,我应该描述算法。
用户说“生成相关问题”,但在最后。
首先,回答问题。
所以,总结如下:
要计算满足条件的子序列数量,其中有一个唯一的最大值,其左侧严格递增,右侧严格递减,结果对 998244353 取模。
我们可以使用动态规划和 Fenwick 树(或线段树)在 O(n log n) 时间内解决。
步骤:
1. 对数组值进行坐标压缩。
2. 计算 dp_inc[i]:表示以索引 i 结尾的严格递增子序列的数量。
- 使用 Fenwick 树,从左到右遍历。
- 对于每个 i,查询值在 [1, arr[i]-1] 范围内的 dp_inc[j] 的总和(j < i,但由值约束隐含)。
- dp_inc[i] = 1 + query_result
- 在树中位置 arr[i] 处更新 dp_inc[i]
3. 计算 dp_dec_start[i]:表示以索引 i 开头的严格递减子序列的数量。
- 使用另一个 Fenwick 树,从右向左遍历。
- 对于每个 i,查询值在 [1, arr[i]-1] 范围内的 dp_dec_start[j] 的总和(j > i)。
- dp_dec_start[i] = 1 + query_result
- 在树中位置 arr[i] 处更新 dp_dec_start[i]
4. 对于每个索引 i,贡献 = dp_inc[i] * dp_dec_start[i] mod mod
5. 总答案 = 所有贡献之和 mod mod
6. 输出答案
在代码中,注意取模操作。
现在,对于相关问题,用户要求生成相关问题。
最后。
首先,提供解决方案。</think>### 计算满足丸山定义的子序列数量
丸山定义要求子序列中有一个唯一的最大值,最大值左边的元素(在子序列中)严格升序,最大值右边的元素(在子序列中)严格降序。子序列必须非空,且元素顺序保持原数组顺序。结果需对 998244353 取模。
#### 算法思路
1. **问题分析**:
- 子序列必须有一个唯一的最大值(即子序列中最大值出现且仅出现一次)。
- 最大值左边的子序列(元素索引小于最大值索引)必须严格升序。
- 最大值右边的子序列(元素索引大于最大值索引)必须严格降序。
- 子序列可以为单个元素(此时左边和右边为空)。
- 数组长度 \( n \) 可能很大(例如 \( 10^5 \),因此需要 \( O(n \log n) \) 解法。
2. **关键观察**:
- 对于每个位置 \( i \)(作为最大值),计算以 \( arr[i] \) 为最大值的子序列数量。
- 左部分(索引 \( < i \)):所有严格升序子序列(元素值 \( < arr[i] \),包括空序列)。
- 右部分(索引 \( > i \)):所有严格降序子序列(元素值 \( < arr[i] \),包括空序列)。
- 贡献为 \( L[i] \times R[i] \),其中 \( L[i] \) 是左部分数量,\( R[i] \) 是右部分数量。
- 总数量为所有 \( i \) 的贡献之和。
3. **动态规划与 Fenwick 树**:
- **坐标压缩**:由于值可能很大,先压缩值到 \( [1, m] \)(1-indexed),以优化 Fenwick 树操作。
- **dp_inc[i]**:以索引 \( i \) 结尾的严格递增子序列数量(用于左部分计算)。
- 从左到右遍历,用 Fenwick 树查询值域 \( [1, arr[i]-1] \) 的 \( dp\_inc[j] \) 总和。
- \( dp\_inc[i] = 1 + \text{query\_result} \),然后更新树。
- **dp_dec_start[i]**:以索引 \( i \) 开头的严格递减子序列数量(用于右部分计算)。
- 从右到左遍历,用 Fenwick 树查询值域 \( [1, arr[i]-1] \) 的 \( dp\_dec\_start[j] \) 总和(\( j > i \))。
- \( dp\_dec\_start[i] = 1 + \text{query\_result} \),然后更新树。
- **贡献计算**:\( L[i] = dp\_inc[i] \), \( R[i] = dp\_dec\_start[i] \),贡献为 \( \text{contribution}[i] = dp\_inc[i] \times dp\_dec\_start[i] \mod 998244353 \)。
- **总答案**:对所有 \( i \) 的贡献求和。
4. **复杂度**:
- 时间:\( O(n \log n) \)(坐标压缩 \( O(n \log n) \),Fenwick 树操作 \( O(\log n) \) 每元素)。
- 空间:\( O(n) \).
#### 代码实现
以下是 Python 实现。Fenwick 树用于高效范围查询和点更新。
```python
mod = 998244353
class Fenw:
def __init__(self, size):
self.n = size
self.tree = [0] * (self.n + 1)
def update(self, index, delta):
while index <= self.n:
self.tree[index] = (self.tree[index] + delta) % mod
index += index & -index
def query(self, index):
s = 0
while index:
s = (s + self.tree[index]) % mod
index -= index & -index
return s
def range_query(self, l, r):
if l > r:
return 0
res = self.query(r) - self.query(l - 1)
return res % mod
def main():
import sys
data = sys.stdin.read().split()
if not data:
return
n = int(data[0])
arr = list(map(int, data[1:1+n]))
# 坐标压缩
sorted_vals = sorted(set(arr))
comp_map = {}
for idx, val in enumerate(sorted_vals):
comp_map[val] = idx + 1 # 1-indexed
comp_arr = [comp_map[x] for x in arr]
m = len(sorted_vals)
# 初始化 dp_inc 和 Fenwick 树
dp_inc = [0] * n
fenw_inc = Fenw(m)
# 从左到右计算 dp_inc
for i in range(n):
val = comp_arr[i]
# 查询值域 [1, val-1] 的 dp_inc[j] 总和
if val > 1:
sum_inc = fenw_inc.range_query(1, val - 1)
else:
sum_inc = 0
dp_inc[i] = (1 + sum_inc) % mod
fenw_inc.update(val, dp_inc[i])
# 初始化 dp_dec_start 和 Fenwick 树
dp_dec_start = [0] * n
fenw_dec = Fenw(m)
# 从右到左计算 dp_dec_start
for i in range(n-1, -1, -1):
val = comp_arr[i]
# 查询值域 [1, val-1] 的 dp_dec_start[j] 总和 (j > i)
if val > 1:
sum_dec = fenw_dec.range_query(1, val - 1)
else:
sum_dec = 0
dp_dec_start[i] = (1 + sum_dec) % mod
fenw_dec.update(val, dp_dec_start[i])
# 计算每个 i 的贡献和总答案
total = 0
for i in range(n):
contr = (dp_inc[i] * dp_dec_start[i]) % mod
total = (total + contr) % mod
# 确保非负
total %= mod
print(total)
if __name__ == '__main__':
main()
```
#### 代码说明
1. **坐标压缩**:将数组值映射到 \( [1, m] \) 以减小 Fenwick 树大小。
2. **Fenwick 树**:支持范围查询和点更新,用于高效计算前缀和。
3. **dp_inc 计算**:
- 从左到右遍历,对于每个 \( i \),查询值小于 \( arr[i] \) 的 \( dp\_inc[j] \) 总和。
- \( dp\_inc[i] \) 包括以 \( i \) 结尾的子序列(对应左部分数量)。
4. **dp_dec_start 计算**:
- 从右到左遍历,对于每个 \( i \),查询值小于 \( arr[i] \) 的 \( dp\_dec\_start[j] \) 总和(\( j > i \))。
- \( dp\_dec\_start[i] \) 包括以 \( i \) 开头的子序列(对应右部分数量)。
5. **贡献和总答案**:每个 \( i \) 的贡献为 \( dp\_inc[i] \times dp\_dec\_start[i] \),总和对 998244353 取模。
#### 示例测试
- 输入: `[1]` 输出: `1` (子序列 `[1]`)
- 输入: `[1,2]` 输出: `3` (子序列 `[1]`, `[2]`, `[1,2]`)
- 输入: `[2,1]` 输出: `3` (子序列 `[2]`, `[1]`, `[2,1]`)
- 输入: `[1,3,2]` 输出: `7` (子序列 `[1]`, `[3]`, `[2]`, `[1,3]`, `[3,2]`, `[1,2]`, `[1,3,2]`)
此算法高效可靠,适用于大数组[^1]。