剑指 Offer 14- I. 剪绳子

最新推荐文章于 2021-03-13 22:06:27 发布

齐豪

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分类专栏：数学文章标签：算法

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探讨如何将一根绳子剪成整数长度的多段，以获得这些段落乘积的最大值。通过三种算法——均分法、动态规划和贪心算法，解决这一经典数学问题，并给出具体实现代码。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

给你一根长度为 n 的绳子，请把绳子剪成整数长度的 m 段（m、n都是整数，n>1并且m>1），每段绳子的长度记为 k[0],k[1]…k[m-1] 。请问 k[0]*k[1]*…*k[m-1] 可能的最大乘积是多少？例如，当绳子的长度是8时，我们把它剪成长度分别为2、3、3的三段，此时得到的最大乘积是18。

示例 1：

输入: 2
输出: 1
解释: 2 = 1 + 1, 1 × 1 = 1
示例 2:

输入: 10
输出: 36
解释: 10 = 3 + 3 + 4, 3 × 3 × 4 = 36

来源：力扣（LeetCode）
链接：https://leetcode-cn.com/problems/jian-sheng-zi-lcof
著作权归领扣网络所有。商业转载请联系官方授权，非商业转载请注明出处。

// 1.考虑一个数分为二份，乘积最大是二个数相等时，所以最大值一定是这个数均分的
class Solution {
public:
    int cuttingRope(int n) {
        int max = 0;
        for (int i = 2; i <= n; ++i) {
            int part = n / i;
            int rem = n % i;
            int temp = pow(part, i-rem) * pow (part+1, rem);
            if (temp > max) {
                max = temp;
            }
        }
        return max;
    }
};
// 2.使用动态规划
//  dp[i] = max(dp[i], j * max(dp[i-j], (i - j)));
// 遍历所有的小于i/2的节点j，分为二种情况：剩余的i-j不拆分，i-j拆分
class Solution {
public:
    int cuttingRope(int n) {
        int* dp = new int[n + 1];
        dp[1] = 1;
        for (int i = 2; i <= n; i++) {
            for (int j = 1; j <= i/2; j++) {
                dp[i] = max(dp[i], j * max(dp[i-j], (i - j)));
            }
        }
        return dp[n];
    }
};

/*
贪心：
当n大于等于5时，尽可能多的剪成长度为3的绳子；当剩下的绳子长度为4时，把绳子剪成二段长度为2的绳子，因为2*2>3*1;
为什么尽可能分解出多的3？
https://leetcode-cn.com/problems/integer-break/solution/343-zheng-shu-chai-fen-tan-xin-by-jyd/
*/
class Solution {
public:
    int cuttingRope(int n) {
        if (n < 2) return 0;
        if (n == 2) return 1;
        if (n == 3) return 2;
        int times3 = n / 3;
        if (n - times3*3 == 1) {
            times3--;
        }
        int times2 = (n-times3*3) / 2;
        return pow(3, times3) * pow(2, times2);
    }
};