LASSO回归

最新推荐文章于 2025-03-27 20:12:14 发布
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分类专栏： 数据基础 文章标签： LASSO回归
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LASSO回归通过引入l1正则化惩罚项，能有效降低模型复杂度，使不重要回归系数变为0。文章介绍了LASSO回归的目标函数，以及如何利用坐标轴下降法进行求解，解释了因惩罚项不可导而采用次梯度方法的原因，并提到了模型优化的可视化和交叉验证步骤。

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LASSO回归

添加l2正则的惩罚项，不管怎么缩减，都会保留建模时的所有变量，无法降低模型复杂度。
LASSO回归，不重要的回归系数缩减为0。
LASSO回归模型的目标函数：
在这里插入图片描述
使用坐标轴下降法：
迭代算法，坐标轴下降法是沿着坐标轴下降，梯度下降是沿着梯度的负方向下降，对于p维参数的可微凸函数J(B)而言，如果存在一点B，使得函数J(B)在每个坐标轴上均达到最小值，则J(B)就是B上的全局最小值。
坐标轴下降法，对目标函数中的某个Bi做偏导，即控制其他p-1个参数不变，沿着一个轴的方向求导，再对剩下的p-1个参数求导，令每个分量下的导函数为0，得到使目标函数达到全局最小值。
在这里插入图片描述
其中ESS(B)代表误差平方和，\lambdal(B)代表惩罚项，
在这里插入图片描述
假设xij=hj(xi)
在这里插入图片描述
令
在这里插入图片描述
在这里插入图片描述
在这里插入图片描述
由于惩罚项是不可导函数，不能直接使用梯度方法，而使用次梯度方法，解决不可导凸函数的最小值。
对于某个分量Bj来说，惩罚项为\lambda|Bj|
次导函数为：
在这里插入图片描述
为了求解最终的LASSO回归函数，需要将ESS与l1的分量导函数相结合，令函数为0
在这里插入图片描述
转化为：
在这里插入图片描述
1.可视化
选定惩罚系数\lambda的值

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### Lasso回归的原理 Lasso回归是一种基于线性回归的方法，通过引入L1正则化来解决高维数据中的特征选择问题。它的目标函数是在最小二乘误差的基础上增加了一个惩罚项，该惩罚项由系数绝对值之和构成[^2]。 #### 数学表达 假设我们有一个线性模型 \( y = X\beta + \epsilon \)，其中 \( y \) 是响应变量，\( X \) 是输入矩阵，\( \beta \) 是待估计的参数向量，\( \epsilon \) 表示噪声。那么Lasso回归的目标是最小化以下损失函数： \[ J(\beta) = \|y - X\beta\|_2^2 + \lambda \|\beta\|_1 \] 这里，\( \lambda \geq 0 \) 控制着正则化的强度，较大的 \( \lambda \) 导致更多的稀疏解[^4]。 --- ### Lasso回归的实现方法 Lasso回归可以通过多种算法实现，常见的有坐标下降法（Coordinate Descent）、最小角回归（Least Angle Regression, LARS），以及梯度下降法等。以下是Python中使用`scikit-learn`库实现Lasso回归的一个简单例子： ```python from sklearn.linear_model import Lasso import numpy as np # 创建样本数据 X = np.array([[1, 2], [3, 4], [5, 6]]) y = np.array([7, 8, 9]) # 初始化并训练Lasso模型 lasso = Lasso(alpha=0.1) # alpha对应于λ lasso.fit(X, y) print("Coefficients:", lasso.coef_) print("Intercept:", lasso.intercept_) ``` 上述代码展示了如何利用`scikit-learn`中的`Lasso`类快速构建一个Lasso回归模型，并调整超参数 `alpha` 来控制正则化程度[^3]。 --- ### Lasso回归的应用场景 Lasso回归因其能够处理多重共线性和自动进行特征选择的能力，在许多领域得到了广泛应用。主要应用场景包括但不限于以下几个方面： 1. **基因组数据分析** 在生物医学研究中，当面对大量基因表达数据时，Lasso回归可以帮助识别与疾病相关的少数关键基因[^1]。 2. **金融建模** 对于股票市场预测或其他经济指标分析，Lasso回归可用于筛选重要的财务因子，从而简化复杂的数据结构。 3. **图像压缩感知** 利用Lasso回归可以从少量测量值重建信号或图像，尤其适用于MRI成像等领域。 4. **自然语言处理** 在文本分类任务中，如果词袋表示维度非常高，则可借助Lasso回归减少冗余特征的影响。 ---
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