解题报告：HDU_6042 Journey with Knapsack 生成函数

最新推荐文章于 2022-08-12 13:20:43 发布

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分类专栏：数论文章标签：生成函数数学 ACM

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本文探讨了一个特定的背包问题，该问题涉及在有限容量下选择武器和食物的组合方式。通过使用五边形数定理，文章提供了一种有效的解决方案，并附带详细的代码实现。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

题目链接

题意：

你有一个容量为2*n的背包，现在有n种食物，第i种事物的体积为i，数目为ai个。还有m种武器，每种武器体积为bi。

现在要求背包里装一个武器，任意食物的方案数。

思路：

官方给的就很详细了Orz......

不懂五边形数定理的同学可以看维基的介绍：五边形数定理、分割数

代码：

#include<bits/stdc++.h>


const int N = 1e5+10;
const int mod = 1e9+7;
using namespace std;


int n=1e5,m,l;
int arr[N],dp[N],tmp[N];

void init(){
   arr[0] = 1;
   for(int i=1,j=1;i<=1000;i++){
      tmp[i] = j * ( 3 * j - 1 ) / 2;
      if(j>0)j=-j;
      else j=-j+1;
   }
   for(int i=1;i<=n;i++){
      for(int j=1,k=1;i>=tmp[j];j++,k++){
         if(k==5)k-=4;
         arr[i] += (k<=2?1:-1) * arr[i-tmp[j]];
         if(arr[i]>=mod)arr[i]-=mod;
         else if(arr[i]<0)arr[i]+=mod;
      }
   }
}


int main()
{
   init();
   int cas = 0 , x ;
   while(scanf("%d%d",&n,&m)==2){ l = n<<1;
      for(int i=0;i<=l;i++)dp[i] = arr[i];
      for(int i=1;i<=n;i++){
         scanf("%d",&x);
         long long t = 1LL * (x+1) * i;
         if(t<=l){
            for(int j=l;j>=t;j--){
               dp[j] -= dp[j-t];
               if(dp[j]<0)dp[j]+=mod;
            }
         }
      }
      for(int i=1,j=n+1,sum=dp[0];i<=n;sum+=dp[i++],j++){
         if(sum>=mod)sum-=mod;
         dp[j] -= sum;
         if(dp[j]<0)dp[j]+=mod;
      }int ans = 0;
      while(m--){
         scanf("%d",&x);
         ans += dp[l-x];
         if(ans>=mod)ans-=mod;
      }printf("Case #%d: %d\n",++cas,ans);
   }return 0;
}